与えられた2つの関数 $f(x) = x^2 - 3x - 4$ と $g(x) = x^2 - (a+2)x + 2a$ について、以下の問いに答えます。 (1) 不等式 $f(x) \leq 0$ を解きます。 (2) 関数 $y=g(x)$ のグラフとx軸の共有点の個数を、定数 $a$ の値によって分類して求めます。 (3) 不等式 $g(x) \leq 0$ を満たすすべての $x$ が不等式 $f(x) \leq 0$ を満たすような定数 $a$ のとり得る値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x) = x^2 - 3x - 4$ と $g(x) = x^2 - (a+2)x + 2a$ について、以下の問いに答えます。

(1) 不等式 $f(x) \leq 0$ を解きます。

(2) 関数 $y=g(x)$ のグラフとx軸の共有点の個数を、定数 $a$ の値によって分類して求めます。

(3) 不等式 $g(x) \leq 0$ を満たすすべての $x$ が不等式 $f(x) \leq 0$ を満たすような定数 $a$ のとり得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $f(x) \leq 0$ を解く

$f(x) = x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) \leq 0$

よって、$-1 \leq x \leq 4$

(2) 関数 $y=g(x)$ のグラフとx軸の共有点の個数を求める

$g(x) = x^2 - (a+2)x + 2a = (x-a)(x-2)$

$y=g(x)$ のグラフとx軸の共有点は $x=a$ と $x=2$ である。

i) $a < 2$ のとき、共有点は2個

ii) $a = 2$ のとき、共有点は1個

iii) $a > 2$ のとき、共有点は2個

(3) 不等式 $g(x) \leq 0$ を満たすすべての $x$ が不等式 $f(x) \leq 0$ を満たすような $a$ の範囲を求める

$g(x) = (x-a)(x-2) \leq 0$ より、

i) $a < 2$ のとき、 $a \leq x \leq 2$

この範囲が $-1 \leq x \leq 4$ に含まれるためには、 $a \geq -1$ が必要。

よって、 $-1 \leq a < 2$

ii) $a = 2$ のとき、$g(x) = (x-2)^2 \leq 0$ を満たすのは $x=2$ のみ。

$x=2$ は $-1 \leq x \leq 4$ を満たすので、$a=2$ は条件を満たす。

iii) $a > 2$ のとき、$2 \leq x \leq a$

この範囲が $-1 \leq x \leq 4$ に含まれるためには、$a \leq 4$ が必要。

よって、$2 < a \leq 4$

i), ii), iii) より、$-1 \leq a \leq 4$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \leq x \leq 4$

(2)

$a < 2$ のとき、2個

$a = 2$ のとき、1個

$a > 2$ のとき、2個

(3) $-1 \leq a \leq 4$