与えられた多項式 $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、多項式を整理します。

$x^2$ の項をまとめると、

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^3 + (a-1)x^2 - a$

次に、因数分解を試みます。定数項が $-a$ であることから、$x \pm \sqrt{a}$ のような形になる可能性があると考えられますが、うまくいきません。

別の方法として、項を組み合わせて因数分解することを試みます。

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = (x^3 - x^2) + (ax^2 - a)$

$= x^2(x-1) + a(x^2 - 1)$

$= x^2(x-1) + a(x-1)(x+1)$

$= (x-1)(x^2 + a(x+1))$

$= (x-1)(x^2 + ax + a)$

以上で、多項式の因数分解が完了しました。

3. 最終的な答え

$(x-1)(x^2 + ax + a)$