与えられた多項式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解することを試みます。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解することを試みます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての二次式として多項式を整理します。

$6x^2 + (7y + 1)x + (2y^2 - 2)$

次に、定数項 $2y^2-2$ を因数分解します。

$2y^2 - 2 = 2(y^2 - 1) = 2(y - 1)(y + 1)$

$6x^2 + (7y + 1)x + 2(y - 1)(y + 1)$ が $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解できると仮定して、係数を比較することを試みます。

$6x^2$の項から、$a \times d = 6$

$2y^2$の項から、$b \times e = 2$

$-2$の項から、$c \times f = -2$

$6 = 3 \times 2$ と $2 = 2 \times 1$ を試すと、

$(3x + 2y + c)(2x + y + f)$ とおきます。

このとき、$x$ の項は $fx + cx$ より、$c+f$ となり、$c \times f = -2$ なので、

$6x^2 + (7y + 1)x + 2y^2 - 2 = (3x + 2y + c)(2x + y + f)$

右辺を展開すると

$6x^2 + 3xy + 3fx + 4xy + 2y^2 + 2fy + 2cx + cy + cf$

$= 6x^2 + 7xy + 2y^2 + (3f + 2c)x + (2f + c)y + cf$

係数を比較すると

$3f + 2c = 1$

$2f + c = 0$

$cf = -2$

$c = -2f$ を $3f + 2c = 1$ に代入すると

$3f + 2(-2f) = 1$

$3f - 4f = 1$

$-f = 1$ より $f = -1$

$c = -2f = -2(-1) = 2$

したがって、

$cf = 2 \times -1 = -2$ となるので、条件を満たします。

よって、

$6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2 = (3x + 2y + 2)(2x + y - 1)$

3. 最終的な答え

$(3x + 2y + 2)(2x + y - 1)$