1辺の長さが $x$ cmの正方形がある。この正方形の縦を2倍にし、横を2cm短くした長方形を作ると、面積は元の正方形より3cm²小さくなった。 (1) 新しく作った長方形の縦と横の長さを $x$ を用いて表す。 (2) もとの正方形の1辺の長さを求める。

## 問題7

1. 問題の内容

1辺の長さが $x$ cmの正方形がある。この正方形の縦を2倍にし、横を2cm短くした長方形を作ると、面積は元の正方形より3cm²小さくなった。

(1) 新しく作った長方形の縦と横の長さを $x$ を用いて表す。

(2) もとの正方形の1辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 元の正方形の1辺の長さは $x$ cmである。

* 新しく作った長方形の縦の長さは、正方形の縦の2倍なので $2x$ cmである。

* 新しく作った長方形の横の長さは、正方形の横から2cm短くしたので $x-2$ cmである。

(2)

* 元の正方形の面積は $x^2$ cm²である。

* 新しく作った長方形の面積は $2x(x-2) = 2x^2 - 4x$ cm²である。

* 問題文より、長方形の面積は正方形の面積より3cm²小さいので、以下の式が成り立つ。

$$2x^2 - 4x = x^2 - 3$$

* この式を整理すると

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

* 因数分解すると

$$(x-1)(x-3) = 0$$

* よって、$x = 1$ または $x = 3$となる。

* しかし、$x-2$は長方形の横の長さなので、$x-2 > 0$でなければならない。したがって、$x > 2$である必要がある。

* よって、$x = 1$は不適。したがって、$x = 3$となる。

3. 最終的な答え

(1)

* 長方形の縦の長さ：$2x$ cm

* 長方形の横の長さ：$(x-2)$ cm

(2)

* 正方形の1辺の長さ：3 cm