2次方程式 $x^2 - x + 2 = 0$ を (*) とします。 (1) (*) を解きます。 (2) 3次式 $x^3 + 2x^2 + 7$ を 2次式 $x^2 - x + 2$ で割ったときの商と余りを求めます。 (3) (*) の2つの解を $\alpha, \beta$ とします。 (i) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ の値と $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めます。 (ii) $a, b$ を実数の定数とし、$x$ の2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解が $(\alpha + 1)^3, (\beta + 1)^3$ となるとき、$a, b$ の値の組 $(a, b)$ を求めます。 (4) $p$ を (*) の解とし、$A = (p^3 + 2p^2 + 7) + 9(p^3 + 2p^2 + 7)^3 + 81$ とするとき、$A$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - x + 2 = 0$ を (*) とします。

(1) (*) を解きます。

(2) 3次式 $x^3 + 2x^2 + 7$ を 2次式 $x^2 - x + 2$ で割ったときの商と余りを求めます。

(3) (*) の2つの解を $\alpha, \beta$ とします。

(i) $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ の値と $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めます。

(ii) $a, b$ を実数の定数とし、$x$ の2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解が $(\alpha + 1)^3, (\beta + 1)^3$ となるとき、$a, b$ の値の組 $(a, b)$ を求めます。

(4) $p$ を (*) の解とし、$A = (p^3 + 2p^2 + 7) + 9(p^3 + 2p^2 + 7)^3 + 81$ とするとき、$A$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - x + 2 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

したがって、$x = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

(2) 3次式 $x^3 + 2x^2 + 7$ を 2次式 $x^2 - x + 2$ で割ります。

```

x + 3

x^2-x+2 | x^3 + 2x^2 + 0x + 7

x^3 - x^2 + 2x

------------------

3x^2 - 2x + 7

3x^2 - 3x + 6

------------------

x + 1

```

したがって、商は $x + 3$ で、余りは $x + 1$ です。

(3) (i) (*) の解 $\alpha, \beta$ は $\frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$ です。解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 1$, $\alpha \beta = 2$ です。

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = 2 + 1 + 1 = 4$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta) = 1^3 - 3(2)(1) = 1 - 6 = -5$

(ii) $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解が $(\alpha + 1)^3, (\beta + 1)^3$ であるから、

$(\alpha + 1) + (\beta + 1) = \alpha + \beta + 2 = 1 + 2 = 3$

$(\alpha + 1)(\beta + 1) = 4$ (i)より

$x^2 + ax + b = (x - (\alpha + 1)^3)(x - (\beta + 1)^3) = x^2 - ((\alpha + 1)^3 + (\beta + 1)^3)x + (\alpha + 1)^3(\beta + 1)^3 = 0$

よって、$-a = (\alpha + 1)^3 + (\beta + 1)^3$, $b = ((\alpha + 1)(\beta + 1))^3$

$(\alpha + 1)^3 + (\beta + 1)^3 = (\alpha + 1 + \beta + 1)((\alpha + 1)^2 - (\alpha + 1)(\beta + 1) + (\beta + 1)^2) = (\alpha + \beta + 2)(\alpha^2 + 2\alpha + 1 - (\alpha\beta + \alpha + \beta + 1) + \beta^2 + 2\beta + 1)$

$= 3(\alpha^2 + \beta^2 + 2(\alpha + \beta) + 2 - \alpha\beta - (\alpha + \beta) - 1) = 3((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta + 2(\alpha + \beta) + 1 - \alpha\beta - (\alpha + \beta)) = 3(1 - 4 + 2 + 1 - 2 - 1) = 3(-3) = -9$

したがって、 $a = 9$.

$b = ((\alpha + 1)(\beta + 1))^3 = 4^3 = 64$

よって、$a = 9, b = 64$

(4) $p$ は (*) の解なので、$p^2 - p + 2 = 0$ よって、$p^2 = p - 2$

$p^3 = p(p^2) = p(p - 2) = p^2 - 2p = p - 2 - 2p = -p - 2$

$p^3 + 2p^2 + 7 = -p - 2 + 2(p - 2) + 7 = -p - 2 + 2p - 4 + 7 = p + 1$

$A = (p^3 + 2p^2 + 7) + 9(p^3 + 2p^2 + 7)^3 + 81 = (p + 1) + 9(p + 1)^3 + 81$

$(p + 1)^3 = p^3 + 3p^2 + 3p + 1 = (-p - 2) + 3(p - 2) + 3p + 1 = -p - 2 + 3p - 6 + 3p + 1 = 5p - 7$

$A = p + 1 + 9(5p - 7) + 81 = p + 1 + 45p - 63 + 81 = 46p + 19$

$p = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$ なので、Aの値は $46(\frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}) + 19 = 23(1 \pm i\sqrt{7}) + 19 = 23 \pm 23i\sqrt{7} + 19 = 42 \pm 23i\sqrt{7}$.

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

(2) 商: $x + 3$, 余り: $x + 1$

(3) (i) $(\alpha + 1)(\beta + 1) = 4$, $\alpha^3 + \beta^3 = -5$

　　(ii) $(a, b) = (9, 64)$

(4) $A = 42 \pm 23i\sqrt{7}$