関数 $y = x^2 - 2x + 3$ において、$0 \leqq x \leqq 3$ の範囲における $y$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x + 3$ において、$0 \leqq x \leqq 3$ の範囲における $y$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 3$

$y = (x - 1)^2 - 1 + 3$

$y = (x - 1)^2 + 2$

このグラフは、頂点が $(1, 2)$ の下に凸の放物線です。定義域が $0 \leqq x \leqq 3$ であるので、この範囲における最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標は $1$ であり、$0 \leqq x \leqq 3$ の範囲に含まれます。したがって、$x = 1$ のとき最小値をとります。

最小値は $y = (1 - 1)^2 + 2 = 2$ です。

次に、最大値を求めます。定義域の端点である $x = 0$ と $x = 3$ のときの $y$ の値を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = (0 - 1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$x = 3$ のとき、$y = (3 - 1)^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

したがって、最大値は $x = 3$ のときの $6$ です。

よって、$y$ の値の範囲は $2 \leqq y \leqq 6$ となります。

3. 最終的な答え

$2 \leqq y \leqq 6$