関数 $y = ax^2$ 上に点A, B, Cがあり、点Bの座標は(2, 1)である。直線ABはx軸に平行で、点Dはy軸上にある。四角形ABCDは平行四辺形である。 (1) 定数 $a$ の値を求める。 (2) 点A, D, Cの座標をそれぞれ求める。 (3) 平行四辺形ABCDを直線OCで分割したとき、小さい部分の面積を$S_1$, 大きい部分の面積を$S_2$とする。このとき、$S_1 : S_2$を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ 上に点A, B, Cがあり、点Bの座標は(2, 1)である。直線ABはx軸に平行で、点Dはy軸上にある。四角形ABCDは平行四辺形である。

(1) 定数 $a$ の値を求める。

(2) 点A, D, Cの座標をそれぞれ求める。

(3) 平行四辺形ABCDを直線OCで分割したとき、小さい部分の面積を$S_1$, 大きい部分の面積を$S_2$とする。このとき、$S_1 : S_2$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点B(2, 1)が $y = ax^2$ 上にあるので、これを代入すると、$1 = a(2^2) = 4a$。よって、$a = \frac{1}{4}$。

(2)

点Aは点Bとy座標が同じで、$y = \frac{1}{4}x^2$ 上にある。

$1 = \frac{1}{4}x^2$ より、$x^2 = 4$。点Aのx座標は負なので、$x = -2$。

よって、点Aの座標は(-2, 1)。

平行四辺形ABCDにおいて、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ である。

点B(2, 1)から点A(-2, 1)を引くと、$\overrightarrow{BA} = (-4, 0)$。

点Cのx座標を $x_c$, y座標を $y_c$とすると、$\overrightarrow{DC} = (x_c, y_c - D_y) = (4, 0)$

なので、点Cのx座標は$x_c = 0+4 = 4$。

点Cは$y = \frac{1}{4}x^2$ 上にあるので、$y_c = \frac{1}{4}(4^2) = 4$。

点Cの座標は(4, 4)。

平行四辺形ABCDにおいて、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ である。

点A(-2, 1)から点D(0, $y_D$)を引くと、$\overrightarrow{DA} = (-2, 1 - y_D)$。

点C(4, 4)から点B(2, 1)を引くと、$\overrightarrow{CB} = (2-4, 1-4) = (-2, -3)$。

$\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{BC}$ なので、$\overrightarrow{DA} = (-2, 1 - y_D) = (2, 3)$。

$1 - y_D = 3$ より、$y_D = -2$。これは図と矛盾するので、$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$を考える。

$\overrightarrow{AD} = (0-(-2), y_D - 1) = (2, y_D - 1)$

$\overrightarrow{BC} = (4-2, 4-1) = (2, 3)$

$y_D - 1 = 3$ より、$y_D = 4$。

よって、点Dの座標は(0, 4)。

(3)

点O(0, 0), C(4, 4)を通る直線OCの式は $y = x$。

平行四辺形ABCDの面積は、底辺ABの長さが4, 高さが3なので、$4 \times 3 = 12$。

直線OCと $y=\frac{1}{4}x^2$ の交点を求める。

$x = \frac{1}{4}x^2$ より、$4x = x^2$。

$x(x-4) = 0$ より、$x = 0, 4$。交点はO(0, 0)とC(4, 4)。

$\int_0^4 (x - \frac{1}{4}x^2) dx = [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^3]_0^4 = \frac{1}{2}(16) - \frac{1}{12}(64) = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}$

したがって、$S_1 = \frac{8}{3}, S_2 = 12 - \frac{8}{3} = \frac{36 - 8}{3} = \frac{28}{3}$

$S_1 : S_2 = \frac{8}{3} : \frac{28}{3} = 8 : 28 = 2 : 7$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{4}$

(2) A(-2, 1), D(0, 4), C(4, 4)

(3) $S_1 : S_2 = 2 : 7$