45人の生徒が受験した100点満点のテストの平均点が52点であった。60点以上の生徒を合格とする時、合格者は最も多くて何人か？

以下に、OCRで読み取った2つの問題の解答を示します。

**問題4**

1. 問題の内容

45人の生徒が受験した100点満点のテストの平均点が52点であった。60点以上の生徒を合格とする時、合格者は最も多くて何人か？

2. 解き方の手順

* クラスの合計点は、生徒数 × 平均点 で求められる。

$45 \times 52 = 2340$

* 合格者の人数を最大にするためには、不合格者の点数をできるだけ高くする必要がある。つまり、不合格者の点数は全員59点とする。

* 不合格者の人数を $x$ とすると、合格者は $45 - x$ 人となる。

* 合計点に関する方程式を立てる。不合格者の合計点と合格者の合計点の和がクラスの合計点に等しい。

$59x + 60(45 - x) = 2340$

* 方程式を解く。

$59x + 2700 - 60x = 2340$

$-x = -360$

$x = 360$

この値は45より大きいため、不適切である。

* 合格者をできる限り多くするために、合格者のうち１人だけ60点とする。残りの不合格者の点数は全員59点とする。

* 合計点： $59x + 60(45-x)=2340$ を満たす整数 $x$ を求める。

* 不合格者が全員59点よりも低い点は取れないので、不合格者をできるだけ多くするという考え方で解く必要がある。

* 不合格者の合計点を最小にするために、不合格者の点数を0点とする。不合格者x人全員が０点の場合、合格者の点数の合計は2340点となる。この場合、合格者は全員60点以上なので、合格者の人数をyとすると

* $60y \leq 2340$

* $y \leq \frac{2340}{60} = 39$

* 合格者yは最大で39人。

* 不合格者は$45-39=6$人。

* このとき、合格者の平均点は、$\frac{2340}{39} = 60$

* 全員が52点だった場合から、合格者が増えるために、不合格者の点数を下げる必要があり、その分を合格者の点数に上乗せする必要がある。この問題のポイントは、合格者を最大にするために、合格者のうちできる限り60点に近い生徒を増やすこと。

* $52 \times 45 = 2340$ (全体の合計点)

$60x + 59(45-x) \le 2340$

$60x + 2655 - 59x \le 2340$

$x \le -315$ これはありえないので、考え方を変える。

* 合格者の人数を $y$ 、不合格者の人数を $45 - y$ とする。合格者の合計点を最小にするために、合格者全員の点数を60点とする。不合格者の合計点を最大にするために、不合格者全員の点数を59点とする。このとき、

$60y + 59(45-y) \le 2340$となる最大の$y$を求める。

$60y + 2655 - 59y \le 2340$

$y \le 2340 - 2655 = -315$

これもおかしい。

* 平均点が52点なので、全員が52点だとすると、合計点は2340点。合格者を最大にするためには、不合格者の点数をできるだけ低くする必要がある。不合格者の点数を全員0点とすると、合格者だけで2340点を稼ぐ必要がある。合格者は最低でも60点なので、合格者の人数は $2340 / 60 = 39$ 人以下でなければならない。したがって、合格者の最大人数は39人である。

3. 最終的な答え

39人

**問題5**

1. 問題の内容

$(\sqrt{2}ab)^3 \times (-2ab^2)^3 \div (-4a^2b^4)^2$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

* 式を展開する。

$(\sqrt{2}ab)^3 = (\sqrt{2})^3 a^3 b^3 = 2\sqrt{2} a^3 b^3$

$(-2ab^2)^3 = (-2)^3 a^3 (b^2)^3 = -8 a^3 b^6$

$(-4a^2b^4)^2 = (-4)^2 (a^2)^2 (b^4)^2 = 16 a^4 b^8$

* 式を整理する。

$2\sqrt{2} a^3 b^3 \times (-8 a^3 b^6) \div (16 a^4 b^8) = \frac{2\sqrt{2} a^3 b^3 \times (-8 a^3 b^6)}{16 a^4 b^8}$

* 約分する。

$\frac{-16\sqrt{2} a^6 b^9}{16 a^4 b^8} = -\sqrt{2} a^{6-4} b^{9-8} = -\sqrt{2} a^2 b$

3. 最終的な答え

$-\sqrt{2}a^2b$