(1) $A = x^3 - 2x^2 + 2x + 4$、$B = x - 1$ のとき、$A$を$B$で割った商と余りを求めよ。 (2) $x^3 - 1$ を因数分解せよ。 (3) 等式 $\frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$ が $x$ についての恒等式となるように、$a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $A = x^3 - 2x^2 + 2x + 4$、$B = x - 1$ のとき、$A$を$B$で割った商と余りを求めよ。

(2) $x^3 - 1$ を因数分解せよ。

(3) 等式 $\frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$ が $x$ についての恒等式となるように、$a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 筆算で $A$ を $B$ で割る。

$x^3 - 2x^2 + 2x + 4$ を $x - 1$ で割る。

商は $x^2 - x + 1$、余りは $5$。

(2) $x^3 - 1$ の因数分解を行う。

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

(3) $\frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$ の両辺に $(x+1)(x+2)$ を掛ける。

$x + 3 = a(x+2) + b(x+1)$

$x + 3 = ax + 2a + bx + b$

$x + 3 = (a+b)x + (2a+b)$

両辺の係数を比較して、

$a + b = 1$

$2a + b = 3$

上の式を下の式から引くと、

$a = 2$

$b = 1 - a = 1 - 2 = -1$

3. 最終的な答え

(1) 商: $x^2 - x + 1$, 余り: $5$

(2) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$

(3) $a = 2$, $b = -1$