## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

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3. 50個以上あるあめ玉があり、生徒に5個ずつ配ると16個余り、8個ずつ配ると何個か足りなくなる。あめ玉の個数を求める。

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2. 解き方の手順

あめ玉の個数を $x$ とする。

生徒の人数を $y$ とする。

5個ずつ配ると16個余るので、

$x = 5y + 16$ ...(1)

8個ずつ配ると足りなくなるので、

$x < 8y$ ...(2)

(1)より、$y = \frac{x-16}{5}$

これを(2)に代入すると、

$x < 8 * \frac{x-16}{5}$

$5x < 8x - 128$

$3x > 128$

$x > \frac{128}{3} \approx 42.66$

また、$x$ は5で割ると16余る数なので、

$x$ は $5n + 16$ の形になる。（$n$ は整数）

$x > 50$ であるので、$x = 5n+16 > 50$ より $5n > 34$ なので $n > 6.8$

よって $n$ は7以上の整数。

(1)に当てはめると、$x = 5n + 16$

$n=7$のとき、$x = 5*7+16 = 35+16 = 51$

$n=8$のとき、$x = 5*8+16 = 40+16 = 56$

$n=9$のとき、$x = 5*9+16 = 45+16 = 61$

(2)の条件より、$x < 8y = 8 * \frac{x-16}{5}$を満たす必要がある。

$x=51$のとき、$y = \frac{51-16}{5} = \frac{35}{5} = 7$。 $8y = 8*7 = 56 > 51$ なのでOK

$x=56$のとき、$y = \frac{56-16}{5} = \frac{40}{5} = 8$。 $8y = 8*8 = 64 > 56$ なのでOK

$x=61$のとき、$y = \frac{61-16}{5} = \frac{45}{5} = 9$。 $8y = 8*9 = 72 > 61$ なのでOK

問題文に、「8個ずつ配ると何個か足りなくなった」とあるので、

5個ずつ配ると16個余り、7個ずつ配ると余りがでる（ぴったりではない）必要がある。

7個ずつ配る場合、余りを計算すると、

$x = 51$ の場合、生徒は7人なので $51 = 7z+ w$　$51 = 7*7 + 2$ となり2余る。

$x = 56$ の場合、生徒は8人なので $56 = 7z + w$　$56 = 7*8 + 0$ となり割り切れる

$x = 61$ の場合、生徒は9人なので $61 = 7z + w$　$61 = 7*8 + 5$ となり5余る。

8個ずつ配ると足りなくなるので、$x < 8y$を満たす必要があり、これはすでに確認済み。

したがって、$x=56$は7個ずつ配ると割り切れてしまうため、条件を満たさない。

また、7個ずつ配ると余りが出るため、生徒数$z$は整数である必要があり、

$51=7z+w$　から　$z= (51-w)/7$で$w < 7$であり、$z$が整数になる必要がある。

$w=2$の時、$z=(51-2)/7 = 49/7 = 7$となり、整数解が存在するので、$x=51$は成り立つ。

同様に、$61=7z+w$から、$z=(61-w)/7$で、$z = (61-5)/7 = 56/7 = 8$となり、整数解が存在するので、$x=61$は成り立つ。

8個ずつ配ると何個足りなくなるかは問題文には明記されていないため、$x = 51$の場合と、$x=61$の場合を計算する。

$x=51$のとき、 $y = 7$ なので、$8y = 56$. よって $56 - 51 = 5$ 個足りなくなる。

$x=61$のとき、 $y = 9$ なので、$8y = 72$. よって $72 - 61 = 11$ 個足りなくなる。

ここでは$x=51$を解答とする。

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3. 最終的な答え

51個