複素数 $\alpha$ の集合を求める問題です。条件は、$|z-i| \le 1$ を満たす全ての複素数 $z$ に対して、$\alpha z$ の実部が $-1$ 以上 $1$ 以下であることです。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ の集合を求める問題です。条件は、$|z-i| \le 1$ を満たす全ての複素数 $z$ に対して、$\alpha z$ の実部が $-1$ 以上 $1$ 以下であることです。

2. 解き方の手順

まず、$z = x+yi$, $\alpha = a+bi$ とおきます。

条件$|z-i| \le 1$ は、複素数平面上で中心が $i$, 半径が $1$ の円の内部と境界を表します。つまり、

$$x^2 + (y-1)^2 \le 1$$

$\alpha z = (a+bi)(x+yi) = (ax-by) + (ay+bx)i$ より、$\alpha z$ の実部は $ax-by$ です。

条件より、$-1 \le ax-by \le 1$ が、$x^2 + (y-1)^2 \le 1$ を満たす全ての $x, y$ について成立する必要があります。

$x^2 + (y-1)^2 \le 1$ は、 $x=0, y=0$, $x=0, y=2$, $x=1, y=1$, $x=-1, y=1$ などを満たします。

これらの点について、$ax-by$ の値を計算します。

- $(x, y) = (0, 0)$ のとき、$ax-by = 0$

- $(x, y) = (0, 2)$ のとき、$ax-by = -2b$

- $(x, y) = (1, 1)$ のとき、$ax-by = a-b$

- $(x, y) = (-1, 1)$ のとき、$ax-by = -a-b$

条件より、$-1 \le -2b \le 1$ なので、$-\frac{1}{2} \le b \le \frac{1}{2}$.

$-1 \le a-b \le 1$ と $-1 \le -a-b \le 1$ より、$-1+b \le a \le 1+b$ と $-1-b \le a \le 1-b$.

従って、$max(-1+b, -1-b) \le a \le min(1+b, 1-b)$.

つまり、$-1-|b| \le a \le 1-|b|$.

$\alpha$ の存在範囲を複素数平面上に図示すると、

$-1/2 \le b \le 1/2$ で、$a = 1-|b|$ と $a = -1+|b|$ で囲まれた領域になります。これは、$(-1, -1/2), (-1, 1/2), (1, 1/2), (1, -1/2)$ を頂点とする四角形領域になります。

3. 最終的な答え

$\alpha = a + bi$ の集合は、$-\frac{1}{2} \le b \le \frac{1}{2}$ かつ $-1+|b| \le a \le 1-|b|$ を満たす複素数 $\alpha$ 全体である。これは、複素数平面上で、四点 $(-1, -1/2)$, $(-1, 1/2)$, $(1, 1/2)$, $(1, -1/2)$ を頂点とする四角形の内部と境界である。