与えられた式 $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$ を因数分解することを求められています。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$ を因数分解することを求められています。

2. 解き方の手順

与えられた式を注意深く観察すると、$2x^2 + 6xy$ の部分と $-3y-1$ の部分に共通の構造が見える可能性があります。特に、第1項と第2項から $2x$ をくくり出すことを試みます。

$2x^2 + 6xy + x - 3y - 1 = 2x(x + 3y) + x - 3y - 1$

ここで、$x+3y$ を作るために、$x-3y-1$の部分を工夫します。$x - 3y -1 = x + 3y -6y - 1$ と書き換えても意味がありません。

しかし、元の式を $2x^2+x +6xy -3y -1$ と並び替えます。そして、$2x^2+x$ の部分と、$6xy-3y$ の部分に注目して因数分解を試みると、

$2x^2+x +6xy -3y -1=x(2x+1) +3y(2x-1) -1$ となります。今回はうまくいきません。

次に、$2x^2 + 6xy + x - 3y - 1 = 0$ を仮定して、$y$ について解きます。

$-3y + 6xy = -2x^2 - x + 1$

$y(-3 + 6x) = -2x^2 - x + 1$

$y = \frac{-2x^2 - x + 1}{6x - 3} = \frac{-(2x^2 + x - 1)}{3(2x - 1)} = \frac{-(2x - 1)(x + 1)}{3(2x - 1)} = -\frac{x+1}{3}$

このとき、$2x-1 \neq 0$, つまり、$x \neq \frac{1}{2}$ です。

$3y = -x -1$

$x + 3y = -1$

この結果を用いると、$2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$ を因数分解した結果は $(2x - 1)(x + 3y + 1)$ と予想できます。確認のために展開してみると、

$(2x - 1)(x + 3y + 1) = 2x^2 + 6xy + 2x - x - 3y - 1 = 2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$

となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2x - 1)(x + 3y + 1)$