## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

複数の運動に関する問題が出題されています。

* 問2：ボールが壁に衝突した際の力積を求める問題。

* 問3：静止している物体に力を加えた際の力積と速度を求める問題。

* 問4：台車に力を加えた際の運動量の変化と力積を求める問題。

* 問5：ボールを打ち返した際のラケットがボールに与えた力積を求める問題。

* 問6：物体Aと物体Bが衝突した後の物体Bの速度を求める問題。

* 問7：物体が爆発した後の破片の速度を求める問題。

* 問8：物体Aと物体Bが衝突し一体となった後の速度と向きを求める問題。

* 問9：物体Aと物体Bが衝突した後のそれぞれの速度を求める問題。

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2. 解き方の手順

それぞれの問題について、解き方の手順を説明します。

**問2：ボールが壁に衝突した際の力積**

力積 $J$ は、力 $F$ と時間 $\Delta t$ の積で表されます。

$J = F \Delta t$

この問題では、$F = 20 \ N$、$\Delta t = 0.15 \ s$ なので、力積は

$J = 20 \times 0.15 = 3 \ N \cdot s$

ボールから見て壁の方向を正とする場合、力積の向きは壁方向となります。

**問3：静止している物体に力を加えた際の力積と速度**

力積 $J$ は、力 $F$ と時間 $\Delta t$ の積で表されます。

$J = F \Delta t$

この問題では、$F = 4.0 \ N$、$\Delta t = 5.0 \ s$ なので、力積は

$J = 4.0 \times 5.0 = 20 \ N \cdot s$

物体の速度 $v$ は、力積と運動量変化の関係から求めることができます。

$J = m \Delta v$

$\Delta v = \frac{J}{m}$

ここで、$m = 5.0 \ kg$ なので、

$\Delta v = \frac{20}{5.0} = 4.0 \ m/s$

物体は静止状態から動き出すため、$\Delta v = v - 0 = v$

したがって、物体の速度は $4.0 \ m/s$ となります。

**問4：台車に力を加えた際の運動量の変化と力積**

台車の運動量の変化 $\Delta p$ は、質量 $m$ と速度の変化 $\Delta v$ の積で表されます。

$\Delta p = m \Delta v$

この問題では、$m = 2.0 \ kg$、$\Delta v = 4.0 - 3.0 = 1.0 \ m/s$ なので、

$\Delta p = 2.0 \times 1.0 = 2.0 \ kg \cdot m/s$

力積 $J$ は、運動量の変化に等しいので、

$J = \Delta p = 2.0 \ N \cdot s$

**問5：ボールを打ち返した際のラケットがボールに与えた力積**

力積 $J$ は、運動量変化に等しいので、

$J = m (v_f - v_i)$

ここで、$m = 0.50 \ kg$ 、$v_i = 20 \ m/s$（東向き）、$v_f = 20 \ m/s$（北向き）です。

東向きをx軸正方向、北向きをy軸正方向とすると、

$v_i = (20, 0)$、 $v_f = (0, 20)$

よって、

$J = 0.50 \times ((0, 20) - (20, 0)) = 0.50 \times (-20, 20) = (-10, 10)$

力積の大きさは $\sqrt{(-10)^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \ N \cdot s$

力積の向きは、arctan(10/-10) = 135°（東向きから反時計回りに135°）

**問6：物体Aと物体Bが衝突した後の物体Bの速度**

運動量保存の法則より、

$m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = m_A v_{A,f} + m_B v_{B,f}$

ここで、$m_A = 3.0 \ kg$, $v_{A,i} = 4.0 \ m/s$, $m_B = 1.0 \ kg$, $v_{B,i} = 0 \ m/s$, $v_{A,f} = 1.0 \ m/s$。

$3.0 \times 4.0 + 1.0 \times 0 = 3.0 \times 1.0 + 1.0 \times v_{B,f}$

$12 = 3 + v_{B,f}$

$v_{B,f} = 9 \ m/s$

**問7：物体が爆発した後の破片の速度**

運動量保存の法則より、

$m v = m_1 v_1 + m_2 v_2$

ここで、$m = 7.0 \ kg$, $v = 6.0 \ m/s$, $m_1 = 2.0 \ kg$, $v_1 = -4.0 \ m/s$ (反対向き), $m_2 = 5.0 \ kg$.

$7.0 \times 6.0 = 2.0 \times (-4.0) + 5.0 \times v_2$

$42 = -8 + 5 v_2$

$50 = 5 v_2$

$v_2 = 10 \ m/s$

**問8：物体Aと物体Bが衝突し一体となった後の速度と向き**

運動量保存の法則より、

$m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = (m_A + m_B) v_f$

ここで、$m_A = 6.0 \ kg$, $v_{A,i} = (10, 0) \ m/s$, $m_B = 5.0 \ kg$, $v_{B,i} = (0, 12) \ m/s$.

$6.0 \times (10, 0) + 5.0 \times (0, 12) = (6.0 + 5.0) v_f$

$(60, 0) + (0, 60) = 11 v_f$

$(60, 60) = 11 v_f$

$v_f = (\frac{60}{11}, \frac{60}{11})$

速さ $|v_f| = \sqrt{(\frac{60}{11})^2 + (\frac{60}{11})^2} = \frac{60}{11} \sqrt{2} \approx 7.71 \ m/s$

向き $\theta = \arctan(\frac{60/11}{60/11}) = \arctan(1) = 45^\circ$（東向きから45°）

**問9：物体Aと物体Bが衝突した後のそれぞれの速度**

運動量保存の法則より、

x軸方向: $m_A v_{A,i} = m_A v'_{A} \cos{60^\circ} + m_B v'_{B} \cos{30^\circ}$

y軸方向: $0 = m_A v'_{A} \sin{60^\circ} - m_B v'_{B} \sin{30^\circ}$

ここで、$m_A = 1.5 \ kg$, $v_{A,i} = 12 \ m/s$, $m_B = 5.2 \ kg$.

$1.5 \times 12 = 1.5 v'_{A} \cos{60^\circ} + 5.2 v'_{B} \cos{30^\circ}$

$0 = 1.5 v'_{A} \sin{60^\circ} - 5.2 v'_{B} \sin{30^\circ}$

整理すると、

$18 = 0.75 v'_{A} + 4.503 v'_{B}$

$0 = 1.299 v'_{A} - 2.6 v'_{B}$

2つ目の式から、$v'_{A} = \frac{2.6}{1.299} v'_{B} \approx 2.002 v'_{B}$

これを1つ目の式に代入すると、

$18 = 0.75 \times 2.002 v'_{B} + 4.503 v'_{B}$

$18 = 1.5015 v'_{B} + 4.503 v'_{B}$

$18 = 6.0045 v'_{B}$

$v'_{B} = \frac{18}{6.0045} \approx 2.998 \ m/s$

$v'_{A} = 2.002 \times 2.998 = 6.002 \ m/s$

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3. 最終的な答え

* 問2：3 N・s（壁方向）

* 問3：力積は 20 N・s、速度は 4.0 m/s

* 問4：運動量の変化は 2.0 kg・m/s、力積は 2.0 N・s

* 問5：10√2 N・s（東向きから反時計回りに135°）

* 問6：9 m/s (右向き)

* 問7：10 m/s

* 問8：速さは約 7.71 m/s、向きは東向きから 45°

* 問9：$v'_A \approx 6.002 \ m/s$, $v'_B \approx 2.998 \ m/s$