質量 $0.20 \text{kg}$ のボールが $20 \text{m/s}$ の速さで東向きに投げ出された時、物体が持つ運動量を求める問題です。

## 問題の解答

### 問1

1. 問題の内容

質量 $0.20 \text{kg}$ のボールが $20 \text{m/s}$ の速さで東向きに投げ出された時、物体が持つ運動量を求める問題です。

2. 解き方の手順

運動量 $p$ は質量 $m$ と速度 $v$ の積で表されます。

$p = mv$

与えられた質量と速度を代入します。

3. 最終的な答え

$p = 0.20 \text{kg} \times 20 \text{m/s} = 4.0 \text{kg m/s}$

物体の持つ運動量は $4.0 \text{kg m/s}$ です。

### 問2

1. 問題の内容

ボールが壁に衝突した際、$20 \text{N}$ の力が $0.15 \text{s}$ 間加わった。ボールが受けた力積を求める問題です。

2. 解き方の手順

力積 $I$ は力 $F$ と時間 $\Delta t$ の積で表されます。

$I = F \Delta t$

与えられた力と時間を代入します。

3. 最終的な答え

$I = 20 \text{N} \times 0.15 \text{s} = 3.0 \text{N s}$

ボールが受けた力積は $3.0 \text{N s}$ です。

### 問3

1. 問題の内容

滑らかな水平面上に静止している質量 $5.0 \text{kg}$ の物体に水平方向に $4.0 \text{N}$ の一定な力を $5.0 \text{s}$ 間作用させた。物体に加えた力積と、その時の物体の速さを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 力積 $I$ は力 $F$ と時間 $\Delta t$ の積で表されます。

$I = F \Delta t$

与えられた力と時間を代入します。

(2) 力積は運動量の変化に等しいので、物体の速さ $v$ を求めることができます。はじめ静止していたので、初速度は0です。

$I = \Delta p = mv - 0$

3. 最終的な答え

(1) $I = 4.0 \text{N} \times 5.0 \text{s} = 20 \text{N s}$

物体に加えた力積は $20 \text{N s}$ です。

(2) $20 \text{N s} = 5.0 \text{kg} \times v$

$v = \frac{20 \text{N s}}{5.0 \text{kg}} = 4.0 \text{m/s}$

物体の速さは $4.0 \text{m/s}$ です。

### 問4

1. 問題の内容

$3.0 \text{m/s}$ の速さで走っている質量 $2.0 \text{kg}$ の台車に速度と同じ向きに力を加えたところ、$4.0 \text{m/s}$ になった。台車の運動量の変化と、台車が受けた力積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 運動量の変化 $\Delta p$ は $p_2 - p_1 = mv_2 - mv_1$ で表されます。

$v_1=3.0\text{m/s}, v_2=4.0\text{m/s}$ を代入して計算します。

(2) 力積は運動量の変化に等しいです。

3. 最終的な答え

(1) $\Delta p = 2.0 \text{kg} \times 4.0 \text{m/s} - 2.0 \text{kg} \times 3.0 \text{m/s} = 2.0 \text{kg m/s}$

台車の運動量の変化は $2.0 \text{kg m/s}$ です。

(2) 力積は運動量の変化に等しいので、$2.0 \text{N s}$ です。

### 問5

1. 問題の内容

東向きに $20 \text{m/s}$ の速さで飛んで来た質量 $0.50 \text{kg}$ のボールをラケットで打ち返したところ、北向きに $20 \text{m/s}$ の速さで飛んでいった。ラケットがボールに加えた力積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 運動量の変化を計算します。東向きを $x$ 軸正方向、北向きを $y$ 軸正方向とすると、

$\Delta p_x = m v_{x2} - m v_{x1} = 0 - 0.50\text{kg} \times 20\text{m/s} = -10 \text{kg m/s}$

$\Delta p_y = m v_{y2} - m v_{y1} = 0.50\text{kg} \times 20\text{m/s} - 0 = 10 \text{kg m/s}$

(2) 力積は運動量の変化に等しいので、

$I_x = -10 \text{N s}$

$I_y = 10 \text{N s}$

力積の大きさは $\sqrt{(-10)^2 + (10)^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$ Ns

3. 最終的な答え

ラケットがボールに加えた力積は、成分で表すと $(-10, 10) \text{N s}$ であり、大きさは約 $14.14 \text{N s}$ です。

### 問6

1. 問題の内容

右向きに $4.0 \text{m/s}$ で運動している質量 $3.0 \text{kg}$ の物体Aが静止している質量 $1.0 \text{kg}$ の物体Bに衝突した。衝突後の物体Aは右向きに $1.0 \text{m/s}$ で運動した。Bの速度を求める問題です。

2. 解き方の手順

運動量保存則より、

$m_A v_{A1} + m_B v_{B1} = m_A v_{A2} + m_B v_{B2}$

与えられた値を代入して $v_{B2}$ を計算します。

$v_{A1}=4.0\text{m/s}, v_{B1}=0, v_{A2}=1.0\text{m/s}$

3. 最終的な答え

$3.0 \text{kg} \times 4.0 \text{m/s} + 1.0 \text{kg} \times 0 = 3.0 \text{kg} \times 1.0 \text{m/s} + 1.0 \text{kg} \times v_{B2}$

$12 = 3 + v_{B2}$

$v_{B2} = 9.0 \text{m/s}$

Bの速度は $9.0 \text{m/s}$ です。

### 問7

1. 問題の内容

一直線上を $6.0 \text{m/s}$ で運動している質量 $7.0 \text{kg}$ の物体が、ある点で突然爆発して、質量 $2.0 \text{kg}$ と $5.0 \text{kg}$ の二つの破片に分かれた。前者は最初物体が進行していた方向と反対向きに $4.0 \text{m/s}$ で運動した。後者の速度を求める問題です。

2. 解き方の手順

運動量保存則より、

$m v = m_1 v_1 + m_2 v_2$

$v = 6.0 \text{m/s}$

$m = 7.0 \text{kg}$

$m_1 = 2.0 \text{kg}$

$v_1 = -4.0 \text{m/s}$

$m_2 = 5.0 \text{kg}$

$v_2$ を計算します。

3. 最終的な答え

$7.0 \text{kg} \times 6.0 \text{m/s} = 2.0 \text{kg} \times (-4.0 \text{m/s}) + 5.0 \text{kg} \times v_2$

$42 = -8 + 5 v_2$

$50 = 5 v_2$

$v_2 = 10 \text{m/s}$

後者の速度は $10 \text{m/s}$ です。

### 問8

1. 問題の内容

東に向かって速さ $10 \text{m/s}$ で進んでいる質量 $6.0 \text{kg}$ の物体Aと、北に向かって速さ $12 \text{m/s}$ で進んでいる質量 $5.0 \text{kg}$ の物体Bが衝突した。衝突後、一体となって進むとき、衝突後の運動の速さと向きを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 運動量保存則を $x$ 軸と $y$ 軸に分けて適用します。

$x$ 軸方向: $m_A v_{Ax} + m_B v_{Bx} = (m_A + m_B) v_x$

$y$ 軸方向: $m_A v_{Ay} + m_B v_{By} = (m_A + m_B) v_y$

(2) 衝突後の速度 $v_x, v_y$ を求め、速さ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ を計算します。

(3) 向きは、東向きに対する角度 $\theta = \arctan(\frac{v_y}{v_x})$ で表されます。

3. 最終的な答え

(1)

$6.0 \text{kg} \times 10 \text{m/s} + 5.0 \text{kg} \times 0 = (6.0 \text{kg} + 5.0 \text{kg}) v_x$

$60 = 11 v_x$

$v_x = \frac{60}{11} \text{m/s} \approx 5.45 \text{m/s}$

$6.0 \text{kg} \times 0 + 5.0 \text{kg} \times 12 \text{m/s} = (6.0 \text{kg} + 5.0 \text{kg}) v_y$

$60 = 11 v_y$

$v_y = \frac{60}{11} \text{m/s} \approx 5.45 \text{m/s}$

(2)

$v = \sqrt{(\frac{60}{11})^2 + (\frac{60}{11})^2} = \sqrt{2 \times (\frac{60}{11})^2} = \frac{60\sqrt{2}}{11} \approx 7.71 \text{m/s}$

(3)

$\theta = \arctan(\frac{60/11}{60/11}) = \arctan(1) = 45^\circ$

衝突後の速さは約 $7.71 \text{m/s}$ 、向きは東向きに対して $45^\circ$ です。

### 問9

1. 問題の内容

滑らかな水平面上で質量 $1.5 \text{kg}$ の物体Aが $12 \text{m/s}$ の速さで $x$ 軸上を正の向きで進み、静止している質量 $5.2 \text{kg}$ の物体Bに衝突した。衝突後Aは進行方向から $60^\circ$ ずれ、Bは $30^\circ$ の方向に進んだ。物体A、Bの衝突後の速さを求める問題です。

2. 解き方の手順

運動量保存則を $x$ 軸と $y$ 軸に分けて適用します。

$x$ 軸方向: $m_A v_{A1} + m_B v_{B1} = m_A v_{A}' \cos(60^\circ) + m_B v_{B}' \cos(30^\circ)$

$y$ 軸方向: $0 = m_A v_{A}' \sin(60^\circ) - m_B v_{B}' \sin(30^\circ)$

$v_{A1} = 12 \text{m/s}, v_{B1} = 0$

$v_A'$ と $v_B'$ を連立方程式で解きます。

3. 最終的な答え

(1)

$1.5 \text{kg} \times 12 \text{m/s} + 5.2 \text{kg} \times 0 = 1.5 \text{kg} \times v_{A}' \cos(60^\circ) + 5.2 \text{kg} \times v_{B}' \cos(30^\circ)$

$18 = 1.5 \times v_{A}' \times \frac{1}{2} + 5.2 \times v_{B}' \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$36 = 1.5 v_{A}' + 5.2\sqrt{3} v_{B}'$

(2)

$0 = 1.5 \text{kg} \times v_{A}' \sin(60^\circ) - 5.2 \text{kg} \times v_{B}' \sin(30^\circ)$

$0 = 1.5 v_{A}' \frac{\sqrt{3}}{2} - 5.2 v_{B}' \frac{1}{2}$

$0 = 1.5\sqrt{3} v_{A}' - 5.2 v_{B}'$

$5.2 v_{B}' = 1.5\sqrt{3} v_{A}'$

$v_{B}' = \frac{1.5\sqrt{3}}{5.2} v_{A}' \approx 0.5 v_A'$

(3)

(1)に代入

$36 = 1.5 v_{A}' + 5.2\sqrt{3} \times 0.5 v_A' = 1.5 v_A' + 2.6 \sqrt{3} v_A'$

$36 = (1.5 + 2.6 \sqrt{3}) v_A'$

$v_A' = \frac{36}{1.5 + 2.6 \sqrt{3}} = \frac{36}{6.007} \approx 6.0 \text{m/s}$

$v_B' = 0.5 v_A' = 3.0 \text{m/s}$

物体Aの衝突後の速さは約 $6.0 \text{m/s}$ 、物体Bの衝突後の速さは約 $3.0 \text{m/s}$ です。