(1) $\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$ の値を求めよ。 (2) $\sum_{k=1}^{8} {}_9C_k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$ の値を求めよ。

(2) $\sum_{k=1}^{8} {}_9C_k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k} b^k$ を利用する。

$a=1$, $b=1$, $n=10$ を代入すると、

$(1+1)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k 1^{10-k} 1^k = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$

したがって、$\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k = 2^{10}$

(2) 二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k a^{n-k} b^k$ を利用する。

$a=1$, $b=1$, $n=9$ を代入すると、

$(1+1)^{9} = \sum_{k=0}^{9} {}_9C_k 1^{9-k} 1^k = \sum_{k=0}^{9} {}_9C_k$

したがって、$\sum_{k=0}^{9} {}_9C_k = 2^{9}$

求める値は $\sum_{k=1}^{8} {}_9C_k$ である。

$\sum_{k=0}^{9} {}_9C_k = {}_9C_0 + \sum_{k=1}^{8} {}_9C_k + {}_9C_9$

${}_9C_0 = 1$, ${}_9C_9 = 1$ であるから、

$\sum_{k=1}^{8} {}_9C_k = \sum_{k=0}^{9} {}_9C_k - {}_9C_0 - {}_9C_9 = 2^9 - 1 - 1 = 2^9 - 2 = 512 - 2 = 510$

3. 最終的な答え

(1) $2^{10} = 1024$

(2) $510$