与えられた4つの計算問題を解きます。 (1) $\sqrt{2}(3-\sqrt{2}) - (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$ (2) $(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - \sqrt{3}(\sqrt{45}+3\sqrt{27})$ (3) $(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$ (4) $(4\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 - (4\sqrt{3}-\sqrt{7})^2$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

与えられた4つの計算問題を解きます。

(1) $\sqrt{2}(3-\sqrt{2}) - (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$

(2) $(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - \sqrt{3}(\sqrt{45}+3\sqrt{27})$

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$

(4) $(4\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 - (4\sqrt{3}-\sqrt{7})^2$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2}(3-\sqrt{2}) - (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$

まず、$\sqrt{2}(3-\sqrt{2})$ を展開します。

$\sqrt{2}(3-\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2$

次に、$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)$ を展開します。これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、

$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$

したがって、

$3\sqrt{2} - 2 - (-1) = 3\sqrt{2} - 2 + 1 = 3\sqrt{2} - 1$

(2) $(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - \sqrt{3}(\sqrt{45}+3\sqrt{27})$

$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$ を展開します。

$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

次に、$\sqrt{3}(\sqrt{45}+3\sqrt{27})$ を計算します。

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

したがって、

$\sqrt{3}(\sqrt{45}+3\sqrt{27}) = \sqrt{3}(3\sqrt{5} + 3(3\sqrt{3})) = \sqrt{3}(3\sqrt{5} + 9\sqrt{3}) = 3\sqrt{15} + 9(3) = 3\sqrt{15} + 27$

したがって、

$8 + 2\sqrt{15} - (3\sqrt{15} + 27) = 8 + 2\sqrt{15} - 3\sqrt{15} - 27 = -19 - \sqrt{15}$

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2) = 4ab$を利用します。

$(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6}-\sqrt{5})^2 = 4(\sqrt{6})(\sqrt{5}) = 4\sqrt{30}$

(4) $(4\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 - (4\sqrt{3}-\sqrt{7})^2$

これも(3)と同様に$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$を利用します。

$(4\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 - (4\sqrt{3}-\sqrt{7})^2 = 4(4\sqrt{3})(\sqrt{7}) = 16\sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{2} - 1$

(2) $-19 - \sqrt{15}$

(3) $4\sqrt{30}$

(4) $16\sqrt{21}$