点 $P(x, y)$ が $0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le 1$ の範囲を動くとき、$X = 2x + y$ および $Y = x + 3y$ で定まる点 $Q(X, Y)$ の存在範囲を求める。

1. 問題の内容

点 $P(x, y)$ が $0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le 1$ の範囲を動くとき、$X = 2x + y$ および $Y = x + 3y$ で定まる点 $Q(X, Y)$ の存在範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を $X$ と $Y$ で表すことを考える。

$X = 2x + y$ および $Y = x + 3y$ という連立方程式を解く。

第2の式に2を掛けると $2Y = 2x + 6y$ となり、これから第1の式を引くと、$2Y - X = 5y$。

したがって、$y = \frac{2Y - X}{5}$

同様に、第1の式に3を掛けると $3X = 6x + 3y$となり、これから第2の式を引くと、$3X - Y = 5x$。

したがって、$x = \frac{3X - Y}{5}$

$0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le 1$ であるから、

$0 \le \frac{3X - Y}{5} \le 1$

$0 \le \frac{2Y - X}{5} \le 1$

したがって、

$0 \le 3X - Y \le 5$

$0 \le 2Y - X \le 5$

これは、$3X - Y \ge 0$, $3X - Y \le 5$, $2Y - X \ge 0$, $2Y - X \le 5$ と書き換えられる。

すなわち、$Y \le 3X$, $Y \ge 3X - 5$, $Y \ge \frac{1}{2}X$, $Y \le \frac{1}{2}X + \frac{5}{2}$

これらの不等式を図示すると、次のようになる。

四つの直線 $Y=3X$, $Y=3X-5$, $Y=\frac{1}{2}X$, $Y=\frac{1}{2}X+\frac{5}{2}$で囲まれた領域である。

交点の座標を計算する。

$Y=3X$と$Y=\frac{1}{2}X$の交点は$(0,0)$。

$Y=3X$と$Y=\frac{1}{2}X+\frac{5}{2}$の交点は$3X=\frac{1}{2}X+\frac{5}{2} \implies \frac{5}{2}X = \frac{5}{2} \implies X=1, Y=3$で、$(1,3)$。

$Y=3X-5$と$Y=\frac{1}{2}X$の交点は$3X-5 = \frac{1}{2}X \implies \frac{5}{2}X = 5 \implies X=2, Y=1$で、$(2,1)$。

$Y=3X-5$と$Y=\frac{1}{2}X+\frac{5}{2}$の交点は$3X-5 = \frac{1}{2}X+\frac{5}{2} \implies \frac{5}{2}X = \frac{15}{2} \implies X=3, Y=4$で、$(3,4)$。

3. 最終的な答え

$0 \le 3X - Y \le 5$

$0 \le 2Y - X \le 5$

で表される領域。これは四つの直線 $Y=3X$, $Y=3X-5$, $Y=\frac{1}{2}X$, $Y=\frac{1}{2}X+\frac{5}{2}$ で囲まれた領域である。頂点は $(0,0)$, $(1,3)$, $(3,4)$, $(2,1)$ である。