数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = 4a_{n+1} - 4a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定められているとき、第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = 4a_{n+1} - 4a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定められているとき、第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この漸化式は、特性方程式を利用して解くことができます。特性方程式を $x^2 = 4x - 4$ とおきます。

これを変形すると、$x^2 - 4x + 4 = 0$ となります。

さらに因数分解すると、$(x - 2)^2 = 0$ となります。

よって、特性方程式の解は $x = 2$ (重解) です。

重解を持つ場合、数列 $\{a_n\}$ は

$a_n = (An + B)2^{n-1}$ の形で表されます。

ここで、$A$ と $B$ は定数です。$a_1 = 1$ と $a_2 = 1$ を代入して、$A$ と $B$ を求めます。

$a_1 = (A(1) + B)2^{1-1} = A + B = 1$

$a_2 = (A(2) + B)2^{2-1} = 2(2A + B) = 4A + 2B = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$A + B = 1$ より $B = 1 - A$。これを $4A + 2B = 1$ に代入すると、

$4A + 2(1 - A) = 1$

$4A + 2 - 2A = 1$

$2A = -1$

$A = -\frac{1}{2}$

$B = 1 - A = 1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

したがって、$a_n = (-\frac{1}{2}n + \frac{3}{2})2^{n-1} = (\frac{-n+3}{2})2^{n-1} = (3 - n)2^{n-2}$

3. 最終的な答え

$a_n = (3 - n)2^{n-2}$