$a+b=1$ のとき、$a^2 + b^2 > ab$ を証明してください。

1. 問題の内容

$a+b=1$ のとき、$a^2 + b^2 > ab$ を証明してください。

2. 解き方の手順

$a+b=1$ を利用して、$a^2 + b^2 - ab$ を変形し、それが正であることを示します。

まず、$a+b=1$ より、$b = 1-a$ となります。

これを $a^2 + b^2 - ab$ に代入します。

$a^2 + b^2 - ab = a^2 + (1-a)^2 - a(1-a)$

$= a^2 + (1 - 2a + a^2) - (a - a^2)$

$= a^2 + 1 - 2a + a^2 - a + a^2$

$= 3a^2 - 3a + 1$

次に、$3a^2 - 3a + 1$ を平方完成します。

$3a^2 - 3a + 1 = 3(a^2 - a) + 1$

$= 3(a^2 - a + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1$

$= 3((a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 1$

$= 3(a - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} + 1$

$= 3(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$

ここで、$(a - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ なので、$3(a - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ となります。

したがって、$3(a - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4} > 0$ が成り立ちます。

よって、$a^2 + b^2 - ab > 0$ となり、$a^2 + b^2 > ab$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$a+b=1$ のとき、$a^2 + b^2 > ab$ が成り立つ。