第2項から第4項までの和が $\frac{26}{27}$、第3項から第5項までの和が $\frac{26}{81}$ である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。

1. 問題の内容

第2項から第4項までの和が $\frac{26}{27}$、第3項から第5項までの和が $\frac{26}{81}$ である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の第 $n$ 項は $ar^{n-1}$ で表される。

問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

$ar + ar^2 + ar^3 = \frac{26}{27}$ ...(1)

$ar^2 + ar^3 + ar^4 = \frac{26}{81}$ ...(2)

式(2)を式(1)で割ると、以下のようになる。

$\frac{ar^2 + ar^3 + ar^4}{ar + ar^2 + ar^3} = \frac{\frac{26}{81}}{\frac{26}{27}}$

$\frac{r(ar + ar^2 + ar^3)}{ar + ar^2 + ar^3} = \frac{26}{81} \cdot \frac{27}{26}$

$r = \frac{27}{81}$

$r = \frac{1}{3}$

求めた $r = \frac{1}{3}$ を式(1)に代入して、$a$ を求める。

$a(\frac{1}{3}) + a(\frac{1}{3})^2 + a(\frac{1}{3})^3 = \frac{26}{27}$

$\frac{a}{3} + \frac{a}{9} + \frac{a}{27} = \frac{26}{27}$

$\frac{9a + 3a + a}{27} = \frac{26}{27}$

$\frac{13a}{27} = \frac{26}{27}$

$13a = 26$

$a = 2$

3. 最終的な答え

初項: $a = 2$

公比: $r = \frac{1}{3}$