問題10は、$x, y$が実数のとき、以下の各命題が成立するために、それぞれ「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」のうち、どれが当てはまるか答える問題です。 (1) $x = 1$ は $x^2 = 1$ であるための $\square$ 条件である。 (2) $x \le 1$ は $x \le 0$ であるための $\square$ 条件である。 (3) $(x-y)^2 = 0$ は $x = y$ であるための $\square$ 条件である。

1. 問題の内容

問題10は、$x, y$が実数のとき、以下の各命題が成立するために、それぞれ「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」のうち、どれが当てはまるか答える問題です。

(1) $x = 1$ は $x^2 = 1$ であるための $\square$ 条件である。

(2) $x \le 1$ は $x \le 0$ であるための $\square$ 条件である。

(3) $(x-y)^2 = 0$ は $x = y$ であるための $\square$ 条件である。

2. 解き方の手順

(1)

* $x = 1$ ならば $x^2 = 1$ は成り立ちます（十分条件）。

* $x^2 = 1$ ならば $x = 1$ または $x = -1$ なので、$x=1$とは限りません（必要条件ではない）。

したがって、$x=1$ は $x^2 = 1$ であるための十分条件です。

(2)

* $x \le 1$ ならば $x \le 0$ は成り立つとは限りません。例えば、$x=0.5$のとき、$x \le 1$ ですが、$x \le 0$ ではありません（十分条件ではない）。

* $x \le 0$ ならば $x \le 1$ は必ず成り立ちます（必要条件）。

したがって、$x \le 1$ は $x \le 0$ であるための必要条件です。

(3)

* $(x-y)^2 = 0$ ならば $x - y = 0$ なので $x = y$ が成り立ちます（十分条件）。

* $x = y$ ならば $(x-y)^2 = (x-x)^2 = 0^2 = 0$ が成り立ちます（必要条件）。

したがって、$(x-y)^2 = 0$ は $x = y$ であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件

(2) 必要条件

(3) 必要十分条件