与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた4次方程式が整数解を持つかどうかを調べます。整数解を持つ場合、それは定数項-2の約数である可能性があります。つまり、候補となる整数解は ±1, ±2 です。

$x=1$ を代入すると、$1 + 2 - 4 - 7 - 2 = -10 \neq 0$

$x=-1$ を代入すると、$1 - 2 - 4 + 7 - 2 = 0$

したがって、$x = -1$ は解の一つです。従って、$x+1$ は与えられた多項式の因数です。多項式を $x+1$ で割ります。

$x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = (x+1)(x^3 + x^2 - 5x - 2)$

次に、$x^3 + x^2 - 5x - 2 = 0$ を解きます。再び、$x=-2$を代入すると、 $-8+4+10-2=4 \neq 0$、 $x=2$を代入すると、$8+4-10-2=0$

したがって、$x=2$は解の一つです。従って、$x-2$ は多項式 $x^3 + x^2 - 5x - 2$ の因数です。多項式を $x-2$ で割ります。

$x^3 + x^2 - 5x - 2 = (x-2)(x^2 + 3x + 1)$

これで、$x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = (x+1)(x-2)(x^2 + 3x + 1)$ と因数分解できました。

最後に、$x^2 + 3x + 1 = 0$ を解きます。これは二次方程式なので、解の公式を使います。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、すべての解は $x = -1, 2, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

-1, 2, (-3+√5)/2, (-3-√5)/2