2次方程式 $2x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

与えられた2次方程式は $2x^2 + 4x + 5 = 0$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{4}{2} = -2$

$\alpha \beta = \frac{5}{2}$

となります。

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)$ と $\alpha \beta$ で表します。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha \beta + \beta^2$

なので、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

となります。

これに、$\alpha + \beta = -2$、$\alpha \beta = \frac{5}{2}$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 - 2 \cdot \frac{5}{2} = 4 - 5 = -1$

となります。

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = -1$