正の整数 $x, y$ が $x \le y$ かつ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ を満たすとき、$x, y$ の組 $(x, y)$ を求める。

1. 問題の内容

正の整数 $x, y$ が $x \le y$ かつ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ を満たすとき、$x, y$ の組 $(x, y)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形する。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$

両辺に $2xy$ を掛けると、

$2y + 2x = xy$

$xy - 2x - 2y = 0$

両辺に $4$ を加えると、

$xy - 2x - 2y + 4 = 4$

$(x - 2)(y - 2) = 4$

$x, y$ は正の整数なので、$x-2, y-2$ は整数である。また、$x \le y$ より、$x-2 \le y-2$ である。

したがって、$(x-2, y-2)$ の組み合わせとして考えられるのは、

$(1, 4), (2, 2)$ である。

(i) $(x-2, y-2) = (1, 4)$ のとき、

$x - 2 = 1$ より、$x = 3$

$y - 2 = 4$ より、$y = 6$

このとき、$x \le y$ は満たされる。

(ii) $(x-2, y-2) = (2, 2)$ のとき、

$x - 2 = 2$ より、$x = 4$

$y - 2 = 2$ より、$y = 4$

このとき、$x \le y$ は満たされる。

したがって、$(x, y) = (3, 6), (4, 4)$ が解となる。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (3, 6), (4, 4)$