画像にある数学の問題を解きます。問題は全部で4つあり、それぞれ以下の通りです。 1. 式の簡略化

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。問題は全部で4つあり、それぞれ以下の通りです。

1. 式の簡略化

2. 指数計算

3. 累乗根の近似値

4. 対数計算

2. 解き方の手順

1. 式の簡略化

(1) $a^2 \times a^{-6} = a^{2+(-6)} = a^{-4} = \frac{1}{a^4}$

(2) $(a^2)^3 \div a^{-6} = a^{2 \times 3} \div a^{-6} = a^6 \div a^{-6} = a^{6 - (-6)} = a^{6+6} = a^{12}$

(3) $(ab^2)^{-2} \times a^3b^2 = a^{-2}b^{-4} \times a^3b^2 = a^{-2+3}b^{-4+2} = a^1b^{-2} = \frac{a}{b^2}$

(4) $(a^{-2}b^{-3})^4 \div (a^3b^{-2})^{-2} = a^{-8}b^{-12} \div a^{-6}b^{4} = a^{-8-(-6)}b^{-12-4} = a^{-2}b^{-16} = \frac{1}{a^2b^{16}}$

2. 指数計算

(1) $200000 \times 250000 = 2 \times 10^5 \times 2.5 \times 10^5 = 5 \times 10^{10}$

(2) $0.000002 \div 0.00025 = 2 \times 10^{-6} \div 2.5 \times 10^{-4} = (2 \div 2.5) \times 10^{-6-(-4)} = 0.8 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{-3}$

(3) $(20000)^4 = (2 \times 10^4)^4 = 2^4 \times (10^4)^4 = 16 \times 10^{16} = 1.6 \times 10^{17}$

(4) $(0.00025)^{-3} = (2.5 \times 10^{-4})^{-3} = (2.5)^{-3} \times (10^{-4})^{-3} = \frac{1}{2.5^3} \times 10^{12} = \frac{1}{15.625} \times 10^{12} = 0.064 \times 10^{12} = 6.4 \times 10^{10}$

3. 累乗根の近似値(小数第2位まで)

(1) $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \approx 1.73$

(2) $12^{\frac{1}{2}} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \approx 2 \times 1.73 = 3.46$

(3) $18^{\frac{1}{2}} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.41 = 4.23$

(4) $48^{\frac{1}{2}} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.73 = 6.92$

4. 対数計算

(1) $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

(2) $\log_3 \frac{1}{81} = \log_3 3^{-4} = -4$

(3) $\log_{10} 0.000001 = \log_{10} 10^{-6} = -6$

(4) $\log_5 0.00032 = \log_5 \frac{32}{100000} = \log_5 \frac{2^5}{10^5} = \log_5 (\frac{2}{10})^5 = \log_5 (\frac{1}{5})^5 = \log_5 (5^{-1})^5 = \log_5 5^{-5} = -5$

3. 最終的な答え

1. 式の簡略化

(1) $\frac{1}{a^4}$

(2) $a^{12}$

(3) $\frac{a}{b^2}$

(4) $\frac{1}{a^2b^{16}}$

2. 指数計算

(1) $5 \times 10^{10}$

(2) $8 \times 10^{-3}$

(3) $1.6 \times 10^{17}$

(4) $6.4 \times 10^{10}$

3. 累乗根の近似値

(1) 1.73

(2) 3.46

(3) 4.23

(4) 6.92

4. 対数計算

(1) 3

(2) -4

(3) -6

(4) -5