関数 $f(x) = 2x + 3$ と $g(x) = x^2 - 4x$ が与えられたとき、以下の合成関数を求める問題です。 (1) $f(g(x))$ (2) $g(f(x))$ (3) $f(f(x))$ (4) $g(g(x))$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x + 3$ と $g(x) = x^2 - 4x$ が与えられたとき、以下の合成関数を求める問題です。

(1) $f(g(x))$

(2) $g(f(x))$

(3) $f(f(x))$

(4) $g(g(x))$

2. 解き方の手順

(1) $f(g(x))$ を求める。$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入します。

$f(g(x)) = 2(g(x)) + 3 = 2(x^2 - 4x) + 3$

$f(g(x)) = 2x^2 - 8x + 3$

(2) $g(f(x))$ を求める。$g(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入します。

$g(f(x)) = (f(x))^2 - 4(f(x)) = (2x + 3)^2 - 4(2x + 3)$

$g(f(x)) = (4x^2 + 12x + 9) - (8x + 12)$

$g(f(x)) = 4x^2 + 4x - 3$

(3) $f(f(x))$ を求める。$f(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入します。

$f(f(x)) = 2(f(x)) + 3 = 2(2x + 3) + 3$

$f(f(x)) = 4x + 6 + 3$

$f(f(x)) = 4x + 9$

(4) $g(g(x))$ を求める。$g(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入します。

$g(g(x)) = (g(x))^2 - 4(g(x)) = (x^2 - 4x)^2 - 4(x^2 - 4x)$

$g(g(x)) = (x^4 - 8x^3 + 16x^2) - (4x^2 - 16x)$

$g(g(x)) = x^4 - 8x^3 + 12x^2 + 16x$

3. 最終的な答え

(1) $f(g(x)) = 2x^2 - 8x + 3$

(2) $g(f(x)) = 4x^2 + 4x - 3$

(3) $f(f(x)) = 4x + 9$

(4) $g(g(x)) = x^4 - 8x^3 + 12x^2 + 16x$