与えられた式 $\frac{x^2-2}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$ を満たす定数$A, B, C$を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた式

$\frac{x^2-2}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$

を満たす定数$A, B, C$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式の両辺に$x(x-1)^2$を掛けます。

$x^2 - 2 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx$

これを展開すると

$x^2 - 2 = A(x^2 - 2x + 1) + B(x^2 - x) + Cx$

$x^2 - 2 = Ax^2 - 2Ax + A + Bx^2 - Bx + Cx$

$x^2 - 2 = (A+B)x^2 + (-2A - B + C)x + A$

両辺の係数を比較すると、以下の連立方程式が得られます。

$A+B = 1$

$-2A - B + C = 0$

$A = -2$

$A = -2$を$A + B = 1$に代入すると、

$-2 + B = 1$

$B = 3$

$A = -2$と$B = 3$を$-2A - B + C = 0$に代入すると、

$-2(-2) - 3 + C = 0$

$4 - 3 + C = 0$

$1 + C = 0$

$C = -1$

3. 最終的な答え

$A = -2$

$B = 3$

$C = -1$