絶対値を含む不等式 $3|x| + |x-3| \ge 5$ を解く問題です。

1. 問題の内容

絶対値を含む不等式 $3|x| + |x-3| \ge 5$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(1) $x < 0$ のとき、$|x| = -x$ かつ $|x-3| = -(x-3) = -x + 3$ より、

$3(-x) + (-x + 3) \ge 5$

$-3x - x + 3 \ge 5$

$-4x \ge 2$

$x \le -\frac{1}{2}$

$x < 0$ と $x \le -\frac{1}{2}$ の共通範囲は $x \le -\frac{1}{2}$

(2) $0 \le x < 3$ のとき、$|x| = x$ かつ $|x-3| = -(x-3) = -x + 3$ より、

$3x + (-x + 3) \ge 5$

$3x - x + 3 \ge 5$

$2x \ge 2$

$x \ge 1$

$0 \le x < 3$ と $x \ge 1$ の共通範囲は $1 \le x < 3$

(3) $x \ge 3$ のとき、$|x| = x$ かつ $|x-3| = x-3$ より、

$3x + (x-3) \ge 5$

$4x - 3 \ge 5$

$4x \ge 8$

$x \ge 2$

$x \ge 3$ と $x \ge 2$ の共通範囲は $x \ge 3$

(1), (2), (3) で求めた範囲を合わせると、$x \le -\frac{1}{2}$, $1 \le x < 3$, $x \ge 3$ となるので、

$x \le -\frac{1}{2}$ または $x \ge 1$

3. 最終的な答え

$x \le -\frac{1}{2}$ または $x \ge 1$