与えられた複素数 (1) $1+i$ と (2) $1-\sqrt{3}i$ を極形式 $re^{i\theta}$ で表し、複素平面上に図示する。

1. 問題の内容

与えられた複素数 (1) $1+i$ と (2) $1-\sqrt{3}i$ を極形式 $re^{i\theta}$ で表し、複素平面上に図示する。

2. 解き方の手順

(1) $1+i$ の場合

まず、絶対値 $r$ を求めます。

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

次に、偏角 $\theta$ を求めます。

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

したがって、極形式は $\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$ です。

複素平面上では、実軸方向に1、虚軸方向に1進んだ点に対応します。原点からの距離は$\sqrt{2}$、実軸からの角度は$\frac{\pi}{4}$です。

(2) $1-\sqrt{3}i$ の場合

まず、絶対値 $r$ を求めます。

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

次に、偏角 $\theta$ を求めます。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$, $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = -\frac{\pi}{3}$

したがって、極形式は $2 e^{-i\frac{\pi}{3}}$ です。

複素平面上では、実軸方向に1、虚軸方向に$-\sqrt{3}$進んだ点に対応します。原点からの距離は2、実軸からの角度は$-\frac{\pi}{3}$です。

3. 最終的な答え

(1) $1+i = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$

(2) $1-\sqrt{3}i = 2 e^{-i\frac{\pi}{3}}$