数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める。問題には、$S_n$ が与えられた6つのケースが含まれている。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める。問題には、$S_n$ が与えられた6つのケースが含まれている。

2. 解き方の手順

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立つ。$a_1 = S_1$ である。

与えられた $S_n$ に対して、$a_n$ を $n \ge 2$ の場合について求め、次に $n=1$ の場合を計算し、2つのケースが一致するかどうかを調べる。一致する場合、一般項 $a_n$ は $n \ge 1$ に対して同じ式で表される。一致しない場合、$a_1$ は別途計算される。

(1) $S_n = 3n^2 - 2n$ の場合:

$n \ge 2$ のとき

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 - 2n) - (3(n-1)^2 - 2(n-1)) = (3n^2 - 2n) - (3(n^2 - 2n + 1) - 2n + 2) = (3n^2 - 2n) - (3n^2 - 6n + 3 - 2n + 2) = 3n^2 - 2n - 3n^2 + 8n - 5 = 6n - 5$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1$

$a_n = 6n - 5$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 6(1) - 5 = 1$ となる。これは、$S_1$ から求めた値と一致する。

したがって、$a_n = 6n - 5$

(2) $S_n = 4^n - 1$ の場合:

$n \ge 2$ のとき

$a_n = S_n - S_{n-1} = (4^n - 1) - (4^{n-1} - 1) = 4^n - 4^{n-1} = 4^{n-1}(4 - 1) = 3 \cdot 4^{n-1}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 4^1 - 1 = 3$

$a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 3 \cdot 4^{1-1} = 3 \cdot 4^0 = 3 \cdot 1 = 3$ となる。これは、$S_1$ から求めた値と一致する。

したがって、$a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

(3) $S_n = n^2 + 4n + 1$ の場合:

$n \ge 2$ のとき

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 4n + 1) - ((n-1)^2 + 4(n-1) + 1) = (n^2 + 4n + 1) - (n^2 - 2n + 1 + 4n - 4 + 1) = n^2 + 4n + 1 - n^2 + 2n - 1 - 4n + 4 - 1 = 2n + 3$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 + 4(1) + 1 = 1 + 4 + 1 = 6$

$a_n = 2n + 3$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 2(1) + 3 = 5$ となる。これは、$S_1$ から求めた値と一致しない。

したがって、$a_1 = 6$, $a_n = 2n + 3$ ($n \ge 2$)

(4) $S_n = \frac{1}{3} n(n+1)(n+2)$ の場合:

$n \ge 2$ のとき

$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{3} n(n+1)(n+2) - \frac{1}{3} (n-1)n(n+1) = \frac{1}{3} n(n+1) [ (n+2) - (n-1) ] = \frac{1}{3} n(n+1)(3) = n(n+1)$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = \frac{1}{3} (1)(1+1)(1+2) = \frac{1}{3} (1)(2)(3) = 2$

$a_n = n(n+1)$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 1(1+1) = 2$ となる。これは、$S_1$ から求めた値と一致する。

したがって、$a_n = n(n+1)$

(5) $S_n = n \cdot 2^n$ の場合:

$n \ge 2$ のとき

$a_n = S_n - S_{n-1} = n \cdot 2^n - (n-1) \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1} (2n - (n-1)) = 2^{n-1} (n+1)$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1 \cdot 2^1 = 2$

$a_n = (n+1) 2^{n-1}$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = (1+1) 2^{1-1} = 2 \cdot 2^0 = 2 \cdot 1 = 2$ となる。これは、$S_1$ から求めた値と一致する。

したがって、$a_n = (n+1) 2^{n-1}$

(6) $S_n = n^3 + 2n + 6$ の場合:

$n \ge 2$ のとき

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 + 2n + 6) - ((n-1)^3 + 2(n-1) + 6) = (n^3 + 2n + 6) - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 2n - 2 + 6) = n^3 + 2n + 6 - n^3 + 3n^2 - 3n + 1 - 2n + 2 - 6 = 3n^2 - 3n + 3$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^3 + 2(1) + 6 = 1 + 2 + 6 = 9$

$a_n = 3n^2 - 3n + 3$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 3 = 3 - 3 + 3 = 3$ となる。これは、$S_1$ から求めた値と一致しない。

したがって、$a_1 = 9$, $a_n = 3n^2 - 3n + 3$ ($n \ge 2$)

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 6n - 5$

(2) $a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

(3) $a_1 = 6$, $a_n = 2n + 3$ ($n \ge 2$)

(4) $a_n = n(n+1)$

(5) $a_n = (n+1) 2^{n-1}$

(6) $a_1 = 9$, $a_n = 3n^2 - 3n + 3$ ($n \ge 2$)