問題は2つあります。 * 問題1：与えられた数列の一般項を求める問題です。数列は以下の3つです。 * (1) 1, 2, 5, 10, 17, ... * (2) 1, 0, -2, -5, -9, ... * (3) 1, 3, 7, 15, 31, ... * 問題2：与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。数列は以下の通りです。 $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

はい、承知いたしました。問題文の指示に従って回答します。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

* 問題1：与えられた数列の一般項を求める問題です。数列は以下の3つです。

* (1) 1, 2, 5, 10, 17, ...

* (2) 1, 0, -2, -5, -9, ...

* (3) 1, 3, 7, 15, 31, ...

* 問題2：与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。数列は以下の通りです。

$S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

2. 解き方の手順

* 問題1 (1)

数列の階差を求めると、1, 3, 5, 7,... となる。これは初項1、公差2の等差数列である。したがって、元の数列は階差数列が等差数列になるタイプの数列である。一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1 +2) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}1 = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 1 + n(n-1) + n - 1 = n^2$

$n=1$のときも成り立つ。

* 問題1 (2)

数列の階差を求めると、-1, -2, -3, -4,... となる。これは初項-1、公差-1の等差数列である。したがって、元の数列は階差数列が等差数列になるタイプの数列である。一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-k) = 1 - \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 - \frac{(n-1)n}{2} = 1 - \frac{n^2 - n}{2} = \frac{2 - n^2 + n}{2}$

$n=1$のときも成り立つ。

* 問題1 (3)

数列の階差を求めると、2, 4, 8, 16,... となる。これは初項2、公比2の等比数列である。したがって、元の数列は階差数列が等比数列になるタイプの数列である。一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 1 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$

$n=1$のときも成り立つ。

* 問題2

$S_n$ の各項は部分分数分解できる。

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

したがって、

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1 - 1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

* 問題1

* (1) $a_n = n^2$

* (2) $a_n = \frac{-n^2 + n + 2}{2}$

* (3) $a_n = 2^n - 1$

* 問題2

$S_n = \frac{n}{2n+1}$