数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 2$、$a_{n+1} = a_n - 3n + 1$ (n = 1, 2, 3, ...)とする。 (1) $a_2$ と $a_3$ を求める。 (2) $n \ge 2$ のとき、$a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 2$、$a_{n+1} = a_n - 3n + 1$ (n = 1, 2, 3, ...)とする。

(1) $a_2$ と $a_3$ を求める。

(2) $n \ge 2$ のとき、$a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = a_n - 3n + 1$の式に$n=1$を代入すると、$a_2 = a_1 - 3(1) + 1$。$a_1 = 2$より、$a_2 = 2 - 3 + 1 = 0$。

同様に、$a_3 = a_2 - 3(2) + 1$。$a_2 = 0$より、$a_3 = 0 - 6 + 1 = -5$。

(2)

$n \ge 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$。

$a_{n+1} - a_n = -3n + 1$より、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-3k + 1) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (-3k + 1)$。

$\sum_{k=1}^{n-1} (-3k + 1) = -3\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = -3\frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = \frac{-3n^2 + 3n + 2n - 2}{2} = \frac{-3n^2 + 5n - 2}{2}$。

よって、$a_n = 2 + \frac{-3n^2 + 5n - 2}{2} = \frac{4 - 3n^2 + 5n - 2}{2} = \frac{-3n^2 + 5n + 2}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = 0$、 $a_3 = -5$

(2) $a_n = \frac{-3n^2 + 5n + 2}{2}$ （$n \ge 2$のとき）