与えられた式 $(2\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (2\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$ を計算して簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (2\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$ を計算して簡略化します。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、2つの方法があります。

**方法1：二項展開**

それぞれの二乗を展開し、その後で引き算を行います。

$(2\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2(2\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4(5) + 4\sqrt{15} + 3 = 20 + 4\sqrt{15} + 3 = 23 + 4\sqrt{15}$

$(2\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2(2\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4(5) - 4\sqrt{15} + 3 = 20 - 4\sqrt{15} + 3 = 23 - 4\sqrt{15}$

次に、引き算を行います。

$(23 + 4\sqrt{15}) - (23 - 4\sqrt{15}) = 23 + 4\sqrt{15} - 23 + 4\sqrt{15} = 8\sqrt{15}$

**方法2：和と差の積**

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ の公式を利用します。

$a = 2\sqrt{5} + \sqrt{3}$

$b = 2\sqrt{5} - \sqrt{3}$

$a + b = (2\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (2\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 4\sqrt{5}$

$a - b = (2\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (2\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

$(a + b)(a - b) = (4\sqrt{5})(2\sqrt{3}) = 8\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$8\sqrt{15}$