数列の和 $S_n = n^2 + 4n$ が与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列の和 $S_n = n^2 + 4n$ が与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求めるには、次の関係式を利用します。

$a_1 = S_1$

$a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \geq 2)$

まず、$S_1$ を計算します。

$S_1 = 1^2 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5$

したがって、$a_1 = 5$ となります。

次に、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を計算します。

$S_n = n^2 + 4n$

$S_{n-1} = (n-1)^2 + 4(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 4n - 4 = n^2 + 2n - 3$

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 4n) - (n^2 + 2n - 3) = n^2 + 4n - n^2 - 2n + 3 = 2n + 3$

$a_n = 2n + 3$ が $n=1$ のときも成り立つか確認します。

$a_1 = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$

これは、$S_1$ と一致します。

したがって、$a_n = 2n + 3$ は $n=1$ のときも成り立つので、全ての自然数 $n$ に対して

$a_n = 2n + 3$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n + 3$