(1) $x > 1$ で $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$ のとき、$x + x^{-1}$ と $x - x^{-1}$ の値を求めよ。 (2) $a = \log_3 4$, $b = \log_3 5$ とおく。$\log_{60} 40$ を $a$ と $b$ の式で表せ。 (3) $4^a = 9^b = 6$ のとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ の値を求めよ。 (4) $x = \log_2 3$ のとき、$4^x + 4^{-x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x > 1$ で $x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$ のとき、$x + x^{-1}$ と $x - x^{-1}$ の値を求めよ。

(2) $a = \log_3 4$, $b = \log_3 5$ とおく。$\log_{60} 40$ を $a$ と $b$ の式で表せ。

(3) $4^a = 9^b = 6$ のとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ の値を求めよ。

(4) $x = \log_2 3$ のとき、$4^x + 4^{-x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = 3$ の両辺を2乗すると、

$(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}})^2 = 3^2$

$x + 2(x^{\frac{1}{2}})(x^{-\frac{1}{2}}) + x^{-1} = 9$

$x + 2 + x^{-1} = 9$

$x + x^{-1} = 7$

次に、$(x-x^{-1})^2$ を求める。

$(x - x^{-1})^2 = x^2 - 2 + x^{-2} = (x^2 + 2 + x^{-2}) - 4 = (x + x^{-1})^2 - 4$

$(x - x^{-1})^2 = 7^2 - 4 = 49 - 4 = 45$

したがって、$x - x^{-1} = \pm \sqrt{45} = \pm 3\sqrt{5}$.

$x > 1$ より、$x^{\frac{1}{2}} > x^{-\frac{1}{2}}$ なので、$x - x^{-1} > 0$ よって、$x - x^{-1} = 3\sqrt{5}$

(2)

$\log_{60} 40 = \frac{\log_3 40}{\log_3 60} = \frac{\log_3 (8 \cdot 5)}{\log_3 (4 \cdot 3 \cdot 5)} = \frac{\log_3 (2^3 \cdot 5)}{\log_3 (4 \cdot 3 \cdot 5)} = \frac{\log_3 2^3 + \log_3 5}{\log_3 4 + \log_3 3 + \log_3 5}$

ここで、$a = \log_3 4 = \log_3 2^2 = 2 \log_3 2$ より、$\log_3 2 = \frac{a}{2}$

したがって、

$\log_{60} 40 = \frac{3\log_3 2 + \log_3 5}{\log_3 4 + 1 + \log_3 5} = \frac{3(\frac{a}{2}) + b}{a + 1 + b} = \frac{\frac{3}{2}a + b}{a + b + 1} = \frac{3a + 2b}{2a + 2b + 2}$

(3)

$4^a = 6$ より、$a = \log_4 6$

$9^b = 6$ より、$b = \log_9 6$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{\log_4 6} = \log_6 4$

$\frac{1}{b} = \frac{1}{\log_9 6} = \log_6 9$

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36 = 2$

(4)

$x = \log_2 3$

$4^x + 4^{-x} = 4^{\log_2 3} + 4^{-\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} + (2^2)^{-\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} + 2^{-2\log_2 3} = 2^{\log_2 3^2} + 2^{\log_2 3^{-2}} = 3^2 + 3^{-2} = 9 + \frac{1}{9} = \frac{81 + 1}{9} = \frac{82}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $x + x^{-1} = 7$, $x - x^{-1} = 3\sqrt{5}$

(2) $\log_{60} 40 = \frac{3a + 2b}{2a + 2b + 2}$

(3) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$

(4) $4^x + 4^{-x} = \frac{82}{9}$