2次方程式 $x^2 + (2n+1)x + n-1 = 0$ の2つの解が整数となるような整数 $n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (2n+1)x + n-1 = 0$ の2つの解が整数となるような整数 $n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用する。2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -(2n+1)$

$\alpha \beta = n-1$

上の式から $n = \alpha \beta + 1$ を下の式に代入すると

$\alpha + \beta = -2(\alpha \beta + 1) - 1$

$\alpha + \beta = -2\alpha \beta - 3$

$\alpha + \beta + 2\alpha \beta + 3 = 0$

$2\alpha \beta + \alpha + \beta + 3 = 0$

両辺に1/2を足して、

$2\alpha \beta + \alpha + \beta + 3 + 1/2 = 1/2$

両辺を2倍して、

$4\alpha \beta + 2\alpha + 2\beta + 6 = 1$

$4\alpha \beta + 2\alpha + 2\beta + 1 = -5$

$(2\alpha + 1)(2\beta + 1) = -5$

ここで、$\alpha, \beta$ は整数なので $2\alpha+1, 2\beta+1$ も整数である。よって、$(2\alpha+1, 2\beta+1)$ の組み合わせは以下の通り。

$(1, -5), (-5, 1), (-1, 5), (5, -1)$

1. $(2\alpha + 1, 2\beta + 1) = (1, -5)$ のとき、

$2\alpha + 1 = 1$ より $\alpha = 0$

$2\beta + 1 = -5$ より $\beta = -3$

$n = \alpha \beta + 1 = 0 \cdot (-3) + 1 = 1$

2. $(2\alpha + 1, 2\beta + 1) = (-5, 1)$ のとき、

$2\alpha + 1 = -5$ より $\alpha = -3$

$2\beta + 1 = 1$ より $\beta = 0$

$n = \alpha \beta + 1 = (-3) \cdot 0 + 1 = 1$

3. $(2\alpha + 1, 2\beta + 1) = (-1, 5)$ のとき、

$2\alpha + 1 = -1$ より $\alpha = -1$

$2\beta + 1 = 5$ より $\beta = 2$

$n = \alpha \beta + 1 = (-1) \cdot 2 + 1 = -1$

4. $(2\alpha + 1, 2\beta + 1) = (5, -1)$ のとき、

$2\alpha + 1 = 5$ より $\alpha = 2$

$2\beta + 1 = -1$ より $\beta = -1$

$n = \alpha \beta + 1 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1$

したがって、$n = 1, -1$

3. 最終的な答え

$n = 1, -1$