数列$\{a_n\}$が与えられており、初項$a_1 = 5$、漸化式$a_{n+1} = a_n + 4n$を満たす。この数列の一般項$a_n$を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が与えられており、初項$a_1 = 5$、漸化式$a_{n+1} = a_n + 4n$を満たす。この数列の一般項$a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

この漸化式は階差数列の形をしている。つまり、$a_{n+1} - a_n = 4n$は、数列$\{a_n\}$の階差数列が$4n$であることを意味する。したがって、$n \ge 2$のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4k$

$= 5 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k$

$= 5 + 4\frac{(n-1)n}{2}$

$= 5 + 2n(n-1)$

$= 5 + 2n^2 - 2n$

$= 2n^2 - 2n + 5$

$n = 1$のとき、$a_1 = 2(1)^2 - 2(1) + 5 = 2 - 2 + 5 = 5$となり、これは与えられた初項と一致する。したがって、この式は$n = 1$でも成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n^2 - 2n + 5$