与えられた4つの式を指数法則を用いて簡単にせよ。ただし、$a > 0$とする。$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$であり、$n=2$の場合、$\sqrt[2]{a}$は$\sqrt{a}$と書く。 (1) $\frac{a^3}{a^{-5}}$ (2) $\frac{\sqrt{27}}{9}$ (3) $5^{-2} \times 5^4 \times 5$ (4) $\sqrt[4]{a} \times \sqrt[8]{a^3} \times a^{-1/2}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を指数法則を用いて簡単にせよ。ただし、$a > 0$とする。$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$であり、$n=2$の場合、$\sqrt[2]{a}$は$\sqrt{a}$と書く。

(1) $\frac{a^3}{a^{-5}}$

(2) $\frac{\sqrt{27}}{9}$

(3) $5^{-2} \times 5^4 \times 5$

(4) $\sqrt[4]{a} \times \sqrt[8]{a^3} \times a^{-1/2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{a^3}{a^{-5}}$の場合、指数の割り算の法則$a^m / a^n = a^{m-n}$を用いる。

$a^3 / a^{-5} = a^{3 - (-5)} = a^{3+5} = a^8$

(2) $\frac{\sqrt{27}}{9}$の場合、まず27と9を3の累乗で表す。

$27 = 3^3$、 $9 = 3^2$

$\frac{\sqrt{27}}{9} = \frac{\sqrt{3^3}}{3^2} = \frac{(3^3)^{1/2}}{3^2} = \frac{3^{3/2}}{3^2}$

指数の割り算の法則を用いて

$3^{3/2} / 3^2 = 3^{3/2 - 2} = 3^{3/2 - 4/2} = 3^{-1/2} = \frac{1}{3^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

(3) $5^{-2} \times 5^4 \times 5$の場合、指数の掛け算の法則$a^m \times a^n = a^{m+n}$を用いる。

$5^{-2} \times 5^4 \times 5 = 5^{-2} \times 5^4 \times 5^1 = 5^{-2+4+1} = 5^3 = 125$

(4) $\sqrt[4]{a} \times \sqrt[8]{a^3} \times a^{-1/2}$の場合、まず根号を指数で表す。

$\sqrt[4]{a} = a^{1/4}$

$\sqrt[8]{a^3} = (a^3)^{1/8} = a^{3/8}$

$\sqrt[4]{a} \times \sqrt[8]{a^3} \times a^{-1/2} = a^{1/4} \times a^{3/8} \times a^{-1/2}$

指数の掛け算の法則を用いて

$a^{1/4} \times a^{3/8} \times a^{-1/2} = a^{1/4 + 3/8 - 1/2} = a^{2/8 + 3/8 - 4/8} = a^{1/8}$

3. 最終的な答え

(1) $a^8$

(2) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

(3) $125$

(4) $a^{1/8}$