$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いて以下の問題を解く。 (1) $5^{30}$ は何桁の整数か。また、 $0.06^{30}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。 (2) $2^n$ が3桁の数となるような自然数 $n$ の最大値は何か。また、$2^n$ が8桁となるような自然数 $n$ の最小値は何か。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ を用いて以下の問題を解く。

(1) $5^{30}$ は何桁の整数か。また、 $0.06^{30}$ は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

(2) $2^n$ が3桁の数となるような自然数 $n$ の最大値は何か。また、$2^n$ が8桁となるような自然数 $n$ の最小値は何か。

2. 解き方の手順

(1)

$5^{30}$ の桁数を求める。

$N = 5^{30}$ とすると、

$\log_{10}N = \log_{10}5^{30} = 30\log_{10}5 = 30\log_{10}\frac{10}{2} = 30(\log_{10}10 - \log_{10}2) = 30(1 - 0.3010) = 30(0.6990) = 20.97$

$\log_{10}N = 20.97$ より、 $N = 10^{20.97} = 10^{20} \times 10^{0.97}$

よって、 $5^{30}$ は21桁の整数である。

$0.06^{30}$ について、 $M = 0.06^{30} = (6 \times 10^{-2})^{30} = 6^{30} \times 10^{-60}$

$\log_{10}6^{30} = 30\log_{10}6 = 30\log_{10}(2 \times 3) = 30(\log_{10}2 + \log_{10}3) = 30(0.3010 + 0.4771) = 30(0.7781) = 23.343$

$6^{30} = 10^{23.343}$ なので、 $M = 10^{23.343} \times 10^{-60} = 10^{-36.657}$

$M = 10^{-37} \times 10^{0.343}$ であり、 $10^{0.3010} = 2$ であるから、$10^{0.343} > 2$ である。

したがって、 $0.06^{30}$ は小数第37位に初めて0でない数字が現れる。

(2)

$2^n$ が3桁の数となる条件は、$100 \le 2^n \le 999$。

常用対数をとると、$2 \le n\log_{10}2 < 3$。

$2 \le 0.3010n < 3$

$\frac{2}{0.3010} \le n < \frac{3}{0.3010}$

$6.644 \le n < 9.967$

$n$ は自然数なので、$7 \le n \le 9$

したがって、 $2^n$ が3桁となる自然数 $n$ の最大値は9である。

$2^n$ が8桁の数となる条件は、$10^7 \le 2^n < 10^8$。

$7 \le n\log_{10}2 < 8$

$7 \le 0.3010n < 8$

$\frac{7}{0.3010} \le n < \frac{8}{0.3010}$

$23.256 \le n < 26.578$

$n$ は自然数なので、$24 \le n \le 26$

したがって、$2^n$ が8桁となる自然数 $n$ の最小値は24である。

3. 最終的な答え

(1) 21, 37

(2) 9, 24