与えられた4つの式を公式を用いて展開せよ。 (1) $(3x - 2y)(x + 5y)$ (2) $(5a + 4b)(5a - 4b)$ (3) $(a + b - 2c)^2$ (4) $(x + 2y)^2 (x - 2y)^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を公式を用いて展開せよ。

(1) $(3x - 2y)(x + 5y)$

(2) $(5a + 4b)(5a - 4b)$

(3) $(a + b - 2c)^2$

(4) $(x + 2y)^2 (x - 2y)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(3x - 2y)(x + 5y)$ を展開する。

分配法則を用いて展開する。

$(3x - 2y)(x + 5y) = 3x \cdot x + 3x \cdot 5y - 2y \cdot x - 2y \cdot 5y$

$= 3x^2 + 15xy - 2xy - 10y^2$

$= 3x^2 + 13xy - 10y^2$

(2) $(5a + 4b)(5a - 4b)$ を展開する。

和と差の積の公式 $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ を用いる。

$(5a + 4b)(5a - 4b) = (5a)^2 - (4b)^2$

$= 25a^2 - 16b^2$

(3) $(a + b - 2c)^2$ を展開する。

$(A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2BC + 2CA$ を用いる。

ここでは $A = a$, $B = b$, $C = -2c$ とする。

$(a + b - 2c)^2 = a^2 + b^2 + (-2c)^2 + 2ab + 2b(-2c) + 2(-2c)a$

$= a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab - 4bc - 4ca$

(4) $(x + 2y)^2 (x - 2y)^2$ を展開する。

$(x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$

$(x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$

よって

$(x + 2y)^2 (x - 2y)^2 = (x^2 + 4xy + 4y^2)(x^2 - 4xy + 4y^2)$

ここで $A = x^2 + 4y^2$, $B = 4xy$ とすると,

$(x^2 + 4y^2 + 4xy)(x^2 + 4y^2 - 4xy) = (A + B)(A - B) = A^2 - B^2$

$= (x^2 + 4y^2)^2 - (4xy)^2$

$= (x^4 + 8x^2 y^2 + 16y^4) - 16x^2 y^2$

$= x^4 - 8x^2 y^2 + 16y^4$

または、

$(x + 2y)^2 (x - 2y)^2 = ((x+2y)(x-2y))^2 = (x^2-4y^2)^2 = x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$

3. 最終的な答え

(1) $3x^2 + 13xy - 10y^2$

(2) $25a^2 - 16b^2$

(3) $a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab - 4bc - 4ca$

(4) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$