与えられた2つの対数の式をそれぞれ計算して値を求めます。 (1) $2\log_3 2 + \log_3 10 - \log_3 360$ (2) $\log_2 9 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8$

1. 問題の内容

与えられた2つの対数の式をそれぞれ計算して値を求めます。

(1) $2\log_3 2 + \log_3 10 - \log_3 360$

(2) $\log_2 9 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8$

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

$2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$

したがって、式は次のようになります。

$\log_3 4 + \log_3 10 - \log_3 360$

対数の和と差を積と商に変換します。

$\log_3 (4 \cdot 10) - \log_3 360 = \log_3 40 - \log_3 360$

$\log_3 \frac{40}{360} = \log_3 \frac{1}{9}$

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$なので、

$\log_3 3^{-2} = -2$

(2)

底の変換公式を利用します。$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

ここでは、常用対数（底が10）に変換します。

$\log_2 9 = \frac{\log 9}{\log 2}$

$\log_3 5 = \frac{\log 5}{\log 3}$

$\log_5 8 = \frac{\log 8}{\log 5}$

したがって、

$\log_2 9 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8 = \frac{\log 9}{\log 2} \cdot \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 8}{\log 5}$

$= \frac{\log 9 \cdot \log 5 \cdot \log 8}{\log 2 \cdot \log 3 \cdot \log 5}$

$\log 5$ が約分できるので、

$= \frac{\log 9 \cdot \log 8}{\log 2 \cdot \log 3}$

$\log 9 = \log 3^2 = 2\log 3$

$\log 8 = \log 2^3 = 3\log 2$

$= \frac{2\log 3 \cdot 3\log 2}{\log 2 \cdot \log 3}$

$= \frac{6\log 3 \cdot \log 2}{\log 2 \cdot \log 3}$

$\log 2$ と $\log 3$ が約分できるので、

$= 6$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 6