次の2次関数に最大値、最小値があれば、それぞれ求めよ。 (1) $y = x^2 + 8x$ (2) $y = 2x^2 - 8x + 8$ (3) $y = -x^2 + 2x + 5$ (4) $y = -x^2 - 6x - 8$

1. 問題の内容

次の2次関数に最大値、最小値があれば、それぞれ求めよ。

(1) $y = x^2 + 8x$

(2) $y = 2x^2 - 8x + 8$

(3) $y = -x^2 + 2x + 5$

(4) $y = -x^2 - 6x - 8$

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成し、頂点の座標を求める。

$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形したとき、

- $a > 0$ ならば、下に凸の放物線となり、頂点 $(p, q)$ で最小値 $q$ をとる。最大値は存在しない。

- $a < 0$ ならば、上に凸の放物線となり、頂点 $(p, q)$ で最大値 $q$ をとる。最小値は存在しない。

(1) $y = x^2 + 8x$

$y = (x^2 + 8x + 16) - 16$

$y = (x + 4)^2 - 16$

頂点の座標は $(-4, -16)$。$a = 1 > 0$ より、下に凸の放物線。

最小値は $-16$ (x = -4 のとき)。最大値は存在しない。

(2) $y = 2x^2 - 8x + 8$

$y = 2(x^2 - 4x) + 8$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 8 + 8$

$y = 2(x - 2)^2$

頂点の座標は $(2, 0)$。$a = 2 > 0$ より、下に凸の放物線。

最小値は $0$ (x = 2 のとき)。最大値は存在しない。

(3) $y = -x^2 + 2x + 5$

$y = -(x^2 - 2x) + 5$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 5$

$y = -(x - 1)^2 + 6$

頂点の座標は $(1, 6)$。$a = -1 < 0$ より、上に凸の放物線。

最大値は $6$ (x = 1 のとき)。最小値は存在しない。

(4) $y = -x^2 - 6x - 8$

$y = -(x^2 + 6x) - 8$

$y = -(x^2 + 6x + 9) + 9 - 8$

$y = -(x + 3)^2 + 1$

頂点の座標は $(-3, 1)$。$a = -1 < 0$ より、上に凸の放物線。

最大値は $1$ (x = -3 のとき)。最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: -16, 最大値: なし

(2) 最小値: 0, 最大値: なし

(3) 最大値: 6, 最小値: なし

(4) 最大値: 1, 最小値: なし