数列の初項から第n項までの和$S_n$が、$S_n = 3n^2 - n$で与えられているとき、この数列の一般項$a_n$を求める問題です。

1. 問題の内容

数列の初項から第n項までの和$S_n$が、$S_n = 3n^2 - n$で与えられているとき、この数列の一般項$a_n$を求める問題です。

2. 解き方の手順

一般項$a_n$は、$n \geq 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$で求めることができます。また、$a_1 = S_1$となります。

まず、$S_1$を求めます。

$S_1 = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$

したがって、$a_1 = 2$となります。

次に、$n \geq 2$のとき、$a_n$を求めます。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 - n) - (3(n-1)^2 - (n-1))$

$= (3n^2 - n) - (3(n^2 - 2n + 1) - (n-1))$

$= (3n^2 - n) - (3n^2 - 6n + 3 - n + 1)$

$= 3n^2 - n - (3n^2 - 7n + 4)$

$= 3n^2 - n - 3n^2 + 7n - 4$

$= 6n - 4$

$a_1 = 2$であるので、$n=1$のとき、$a_n = 6n - 4 = 6(1) - 4 = 2$となり、$n \geq 2$で求めた式は$n=1$でも成り立ちます。

したがって、$a_n = 6n - 4$が一般項となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 6n - 4$