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2次方程式 $-x^2 + 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の値を求めよ。

代数学二次方程式解と係数の関係解の逆数の和
2025/6/25

1. 問題の内容

2次方程式 −x2+4x+3=0-x^2 + 4x + 3 = 0 の2つの解を α\alpha, β\beta とするとき、1α+1β\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 −x2+4x+3=0-x^2 + 4x + 3 = 0 を x2−4x−3=0x^2 - 4x - 3 = 0 と変形します。
解と係数の関係より、α+β=4\alpha + \beta = 4 および αβ=−3\alpha \beta = -3 が得られます。
次に、1α+1β\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} を計算します。これは通分することで、
\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta}
となります。
α+β=4\alpha + \beta = 4 および αβ=−3\alpha \beta = -3 を代入すると、
\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}
となります。

3. 最終的な答え

−43-\frac{4}{3}

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