与えられた3次式 $x^3 - x^2 + x - 6$ を有理数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 - x^2 + x - 6$ を有理数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

有理根定理より、与えられた多項式の有理根の候補は、定数項（-6）の約数 $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ を最高次の係数（1）で割ったものである。

まず、$x = 1$ を代入すると、$1^3 - 1^2 + 1 - 6 = 1 - 1 + 1 - 6 = -5 \neq 0$。

$x = -1$ を代入すると,$(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 6 = -1 - 1 - 1 - 6 = -9 \neq 0$。

$x = 2$ を代入すると、$2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$。

したがって、$x = 2$ は与えられた多項式の根である。つまり、$x - 2$ は与えられた多項式の因数である。

次に、多項式 $x^3 - x^2 + x - 6$ を $x - 2$ で割る。

```

x^2 + x + 3

x - 2 | x^3 - x^2 + x - 6

x^3 - 2x^2

----------

x^2 + x

x^2 - 2x

----------

3x - 6

3x - 6

----------

0

```

割り算の結果、$x^3 - x^2 + x - 6 = (x - 2)(x^2 + x + 3)$ となる。

2次式 $x^2 + x + 3$ の判別式は $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0$ であるため、$x^2 + x + 3$ は実数の範囲でこれ以上因数分解できない。したがって、有理数の範囲でもこれ以上因数分解できない。

3. 最終的な答え

$(x - 2)(x^2 + x + 3)$