多項式 $-2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ を $3x - 1$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $-2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ を $3x - 1$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。多項式 $P(x)$ を $ax - b$ で割ったときの余りは $P(\frac{b}{a})$ で与えられます。

この問題では、$P(x) = -2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ であり、$3x - 1$ で割るので、$x = \frac{1}{3}$ を代入します。

\begin{align*}

P\left(\frac{1}{3}\right) &= -2\left(\frac{1}{3}\right)^3 + 4\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) + 1 \\

&= -2\left(\frac{1}{27}\right) + 4\left(\frac{1}{9}\right) - \frac{2}{3} + 1 \\

&= -\frac{2}{27} + \frac{4}{9} - \frac{2}{3} + 1 \\

&= -\frac{2}{27} + \frac{12}{27} - \frac{18}{27} + \frac{27}{27} \\

&= \frac{-2 + 12 - 18 + 27}{27} \\

&= \frac{19}{27}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{19}{27}$