$a$ は正の定数とする。2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 3$ ($0 \le x \le a$) がある。 (1) $f(0) = f(a)$ を満たす $a$ の値を求めよ。 (2) $f(x)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 3$ ($0 \le x \le a$) がある。

(1) $f(0) = f(a)$ を満たす $a$ の値を求めよ。

(2) $f(x)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(0) = f(a)$ を満たす $a$ の値を求める。

まず、$f(0)$ を計算する。

$f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$

次に、$f(a)$ を計算する。

$f(a) = a^2 - 2a + 3$

$f(0) = f(a)$ より、

$a^2 - 2a + 3 = 3$

$a^2 - 2a = 0$

$a(a-2) = 0$

$a = 0$ または $a = 2$

$a$ は正の定数なので、$a = 2$

(2) $f(x)$ の最大値を求める。

$f(x) = x^2 - 2x + 3$ を平方完成する。

$f(x) = (x-1)^2 - 1 + 3 = (x-1)^2 + 2$

$f(x)$ は $x=1$ で最小値 2 をとる下に凸の放物線である。

定義域は $0 \le x \le a$ である。

(i) $0 \le a < 1$ のとき、

$f(x)$ は区間 $[0,a]$ で単調減少なので、最大値は $f(0) = 3$

(ii) $a = 1$ のとき、

$f(0) = 3, f(1) = 2$ なので、最大値は $f(0) = 3$

(iii) $1 < a \le 2$ のとき、

$f(x)$ は $x=0$ で最大値 $f(0) = 3$ をとる。または、$x=a$ で最大値 $f(a) = a^2 - 2a + 3$ をとる。

$a=2$ のとき、$f(0) = 3, f(2) = 2^2 - 2(2) + 3 = 3$ なので、最大値は 3。

$0 \le x \le a$ における最大値は $x=0$ または $x=a$ でとる。

$x=0$ のとき $f(0)=3$ であり、$x=a$ のとき $f(a)=a^2-2a+3$ である。

$f(a)-f(0) = a^2-2a+3 - 3 = a^2-2a = a(a-2)$ であり、$a>0$ であるから、$a<2$ のとき、$f(a)<f(0)$ であり、$a=2$ のとき、$f(a)=f(0)$ である。

したがって、最大値は常に $f(0)=3$ となる。

(iv) $a > 2$ のとき、

軸 $x=1$ に関して $x=0$ と $x=2$ は対称である。

したがって、$a > 2$ のとき、最大値は $f(a) = a^2 - 2a + 3$ となる。

以上より、

$0 \le a \le 2$ のとき、最大値は 3

$a > 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a + 3$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2)

$0 < a \le 2$ のとき、最大値は 3

$a > 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a + 3$