$x^2 - 6x + 7$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

$x^2 - 6x + 7$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

与えられた2次式 $x^2 - 6x + 7$ を因数分解します。

まず、平方完成を試みます。

$x^2 - 6x + 7 = (x^2 - 6x) + 7$

$x^2 - 6x$ の部分を平方完成させるために、$(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ の形になるように $a$ を決定します。

$-6x = -2ax$ より、$2a = 6$ となり、$a = 3$ です。

したがって、$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ となります。

よって、$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ となります。

これを与式に代入すると、

$x^2 - 6x + 7 = (x - 3)^2 - 9 + 7 = (x - 3)^2 - 2$

$(x - 3)^2 - 2$ は $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形とみなせます。

ここで、$A = x - 3$、$B = \sqrt{2}$ とすると、

$(x - 3)^2 - 2 = (x - 3 + \sqrt{2})(x - 3 - \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$(x - 3 + \sqrt{2})(x - 3 - \sqrt{2})$