2次方程式 $3x^2 + kx + 12 = 0$ の1つの解が他の解の4倍であるとき、定数 $k$ の値と2つの解を求める。また、$k = -15$ のときの解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 + kx + 12 = 0$ の1つの解が他の解の4倍であるとき、定数 $k$ の値と2つの解を求める。また、$k = -15$ のときの解を求める。

2. 解き方の手順

まず、$3x^2 + kx + 12 = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $4\alpha$ とする。

解と係数の関係より、

$$\alpha + 4\alpha = -\frac{k}{3}$$

$$\alpha \cdot 4\alpha = \frac{12}{3} = 4$$

2番目の式から、

$4\alpha^2 = 4$

$\alpha^2 = 1$

$\alpha = \pm 1$

(i) $\alpha = 1$ のとき、

$5\alpha = 5 = -\frac{k}{3}$

$k = -15$

このとき、2つの解は $\alpha = 1$ と $4\alpha = 4$。

(ii) $\alpha = -1$ のとき、

$5\alpha = -5 = -\frac{k}{3}$

$k = 15$

このとき、2つの解は $\alpha = -1$ と $4\alpha = -4$。

次に、$k = -15$ のときの解を求める。

$3x^2 - 15x + 12 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x-1)(x-4) = 0$

$x = 1, 4$

3. 最終的な答え

$k = -15$ のとき、解は $1, 4$

$k = 15$ のとき、解は $-1, -4$

$k=-15$のとき、x=1, 4