$x^4 - 9$ を、係数の範囲を有理数、実数、複素数とした場合に因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 - 9$ を、係数の範囲を有理数、実数、複素数とした場合に因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 9$ を因数分解します。これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形を利用できます。

$x^4 - 9 = (x^2)^2 - (3)^2 = (x^2 + 3)(x^2 - 3)$

次に、それぞれの範囲でさらに因数分解できるか検討します。

* **有理数の範囲**:

$x^2 - 3$ は有理数の範囲では因数分解できません。なぜなら $x^2 - 3 = 0$ を解くと、$x = \pm\sqrt{3}$となり、$\sqrt{3}$ は無理数だからです。

したがって、$x^2 + 3$ も同様に有理数の範囲では因数分解できません。

ゆえに、有理数の範囲での因数分解は $(x^2 + 3)(x^2 - 3)$ です。

* **実数の範囲**:

$x^2 - 3$ は、$x^2 - (\sqrt{3})^2$と見なせるので、

$x^2 - 3 = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ と実数の範囲で因数分解できます。

$x^2 + 3$ は、$x^2 = -3$ となる解 $x = \pm i\sqrt{3}$ が虚数なので実数の範囲では因数分解できません。

したがって、実数の範囲での因数分解は $(x^2 + 3)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ です。

* **複素数の範囲**:

$x^2 + 3 = 0$ を解くと、$x = \pm \sqrt{-3} = \pm i\sqrt{3}$ となります。

したがって、$x^2 + 3 = (x + i\sqrt{3})(x - i\sqrt{3})$ と複素数の範囲で因数分解できます。

$x^2 - 3$ は実数の範囲で $(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ と因数分解できるので、複素数の範囲でもそのまま利用できます。

したがって、複素数の範囲での因数分解は $(x + i\sqrt{3})(x - i\sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$ です。

3. 最終的な答え

* 有理数: $(x^2 + 3)(x^2 - 3)$

* 実数: $(x^2 + 3)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$

* 複素数: $(x + i\sqrt{3})(x - i\sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$